تعبیر هندسی مشتق سوم تابع چیست؟

Question

سلام.

سوالم این است که تعبیر هندسی مشتق سوم یک تابع چیست؟ با توجه به مفهوم مشتق می توان آن را آهنگ تغییر تقعر معنی کرد. اما تغییر تقعر در نمودار تابع نشان گر چه چیزی است؟

مثلا نمودار تابع $\frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{24}x^4 - \frac{1}{3}x^3$ به صورت زیر است:

در نمودار بالا نقاط قرمز رنگ ریشه های مشتق سوم تابع و نقاط سبز ریشه های مشتق دوم تابع هستند.حالا دقیقا چه اتفاقی در نقاط قرمز افتاده؟

سوال دومم اینه که درست است بگوییم تعداد فرورفتگی و برآمدگی های تابع یکی بیشتر از تعداد ریشه های مشتق سوم است؟

Comments

@amirabbas به ریشهٔ ساده و تکراری، فرد و زوج بودن تکرار یک نقطه به عنوان ریشه فکر کنید.

---

@AmirHosein
ممنون از راهنمایی. فکر کنم تقریبا فهمیدم. انگار اگه مشتق سوم در یک بازه مثبت باشه به این معنیه که تابع در اون بازه میخواد تحدب رو به تقعر تبدیل کنه.و برعکس اگه منفی باشه میخواد تقعر خودش رو به تحدب تبدیل کنه.پس اگر یک تابع در ابتدای بازه محدب باشد و مشتق سوم آن در آن بازه مثبت باشد سعی می کند تحدب خود را به تقعر تبدیل کند و اگر مشتق سوم تغییر علامت ندهد به یک نقطه ی عطف خواهیم رسید و تحدب به تقعر تبدیل می شود.برای مثال تابع  <math>$x^3$</math> در ابتدا محدب است اما چون مشتق سومش همواره برابر 6 است می خواهد تحدبش را به تقعر تبدیل کند و بعد از اینکه به نقطه عطف رسید مقعر شده و همینطور شدت تقعر خود را افزایش می دهد.
 اما درباره مرتبه ریشه های مشتق سوم می توان گفت اگر ریشه ی مشتق سوم ریشه ای از مرتبه فرد باشد در این ریشه تغییر علامت می دهد و روند تابع برای تغییر تقعر برعکس می شود که در این صورت حتما یک نقطه عطف بعد از آن وجود خواهد داشت.مثل تابع زیر که مشتق سوم آن در <math>$x=2$</math> ریشه ای از مرتبه 3 دارد.درابتدا مقعر است اما چون مشتق سومش قبل از <math>$x=2$</math> منفی است تقعر خود را به تحدب تبدیل می کند و وقتی به <math>$x=2$</math> رسید تصمیمش عوض شده و میخواهد تقعر را به تحدب تبدیل کند :
![enter image description here][1]

اما اگر ریشه ای از مرتبه زوج باشد تابع به روال سابق خودش ادامه میدهد.مثل تابع زیر که در <math>$x=2$</math> ریشه ای از مرتبه 4 دارد:
![enter image description here][2]
 به علاوه اگر مشتق سوم تابعی مانند <math>$x^2$</math> صفر باشد یعنی تابع هیچ تلاشی برای تغییر تقعر خود نمی کند.

در هر صورت به نظر می آید تشخیص ریشه مشتق سوم بر خلاف مشتق اول و دوم از روی نمودار مشکل است.



  [1]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=9645820966674634621
  [2]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=9198574390126393097

---

@amirabbas صرفا جهت اینکه ممکن است پسین‌تر در جایی برایتان نیاز شود، خوب است بدانید که برخی ریشه‌های مشتق دوم را چه بخواهد سمت فرورفتگی نمودار تابع پیش و پس از آن تغییر کند چه نکند، نقطهٔ عطف می‌نامند و برخی دیگر مانند شما برای استفاده از لفظ نقطهٔ عطف شرط تغییر فرورفتگی (تقعر-تحدب) را نیز می‌افزایند. برای نمونه در خود صفحهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی می‌توانید ببینید که اشاره دارد که هندسه‌جبری‌کاران معمولا هر دوی undulation point و inflection point را inflection point می‌گویند. این هم نمونهٔ دیگری از بحث‌هایی شبیه بحث تابع و نگاشت.

Answer 1

سلام... فکر کنم یکی از کاربرد های مشتق سوم را بتوانیم محاسبه ی مقدار ماکزیمم یا مینیمم تغییرات مشتق بدانیم . مثلا شما تابع y=sinx را در نظر بگیرید . شما برای محاسبه ی ماکزیمم یا مینیمم مقدار تابع ، مشتق آن را برابر صفر قرار می دهید . حالا اگر دقت کنید می بینید که در نقاط نزدیک قله ی نمودار ، شیب خط مماس بر تابع با سرعت زیادی شروع به تغییر می کند . (بر خلاف سایر نقاط) . از این مطلب می توان نتیجه گرفت که در این نقاط ، تغییرات مشتق تابع ماکزیمم مقدار خود است یعنی مشتق دوم ماکزیمم است . بنابراین می توان فهمید که در نوک قله ی نمودار ، مشتق سوم برابر صفر است .
البته می توان درباره ی این بحث بیش تر هم صحبت کرد مثلا اینکه در همین نمودار صورت سؤال اگر دقت کنید در نقاط قله مشتق سوم صفر نیست . این مطلب نشان می دهد که تشخیص مشتق سوم از روی نمودار کار راحتی نیست و باید با محاسبه مشخص شود . البته شاید حرف هایم اشکال داشته باشند ولی دوست داشتم در نظر دهی شرکت داشته باشم روی صحبت هایم فکر کنید و اگر اشکالی دیدید مطلعم کنید .

Comments

@عرفانـعبدی این پست یک «نظرخواهی» نیست. بعلاوه نظر (=دیدگاه) را در قالب دیدگاه می‌گذارند نه پاسخ. مطلب بعد اینکه مثال‌تان مشتق دوم استفاده می‌کند نه سوم! متن‌تان می‌گوید برای یافتن اکسترمم‌ها مشتق تابع (مشتق اول آن) را صفر قرار می‌دادید، اکنون نتیجه گرفتید که برای اکسترمم‌یابی مشتق اول باید مشتق سوم را استفاده کنید؟ مشتق سوم که مشتق دومِ مشتق اول است!