پیدا کردن تعداد اعضای مشترک دو مجموعه

Question

فرض کنید $ A=\lbrace 100,105,110,...,500\rbrace $ و $B= \lbrace 102,108,114,...,498\rbrace $. چطور میتوان تعداد اعضای مشترک این دو مجموعه را پیدا کرد یعنی $ n(A \cap B) $؟

Comments

شما هر کدوم از مجموعه هارو به عنوان یک دنباله در نظر بگیرید به این صورت که :
$a_n=100+(n-1)5$
 و همینطور برای مجموعه دوم : $b_n=102+(n-1)6$

پس ما توانستیم هر مجموعه رو به صورت دنباله عددی در بیاوریم : حالا میتوان از قضیه زیر ااستفاده کنید . لینک زیر پاسخ اولی:
http://math.irancircle.com/359/%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%B9%D8%AF-%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%DB%8C-%D8%A8%D8%B1%D8%A7%D8%A8%D8%B1%DB%8C-%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87-%D9%87%D8%A7%DB%8C-%D8%AF%D9%88-%D8%AF%D9%86%D8%A8%D8%A7%D9%84%D9%87-%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%DB%8C

Answer 1

هر کدوم از مجموعه هارو به عنوان یک دنباله در نظر بگیرید به این صورت که : $$a_n=100+(n-1)5$$ و همینطور برای مجموعه دوم :

$$b_n=102+(n-1)6$$

حال از قضیه زیر ایتفاده میکنیم :

جملات مشترك دنباله هاي حسابي $( a_{n} , b_{n}) $يك دنباله ي حسابي جديدي به نام $( c_{n} )$ ايجاد ميكنند كه قدر نسبت $( c_{n} )$ك م م قدر نسبت هاي $( a_{n} , b_{n})$ميباشد.

در نتیجه :

$$d_c=30 \ \ , \ \ c_1= 150$$ $$c_n=150+(n-1)30=120+30n$$

و همینطور که مشخص است :

$$150 \leq 120+30n \leq 498$$ $$30 \leq 30n \leq 378$$ $$\dfrac{30}{30} \leq \dfrac{30n}{30} \leq \dfrac{378}{30}$$

$$1 \leq n \leq 12.6$$$$n={1,2,3,...,12}$$

Answer 2

ابتدا فرمول عمومی دو دنباله رو بدست بیاریم .سپس تا جایی ما به جای nعدد جاگذاری می کنیم که حداقل دو تا عدد مشترک بدست بیاریم .سپس فرمول عمومی این دو عدد رو بدست میاریم سپس اولین و دومین عدد سه رقمی مشترک را به دست میاوریم و بازهم از اولین و دومین عدد سه رقمی دوباره جمله عمومی میگیریم و به صورت آزمایش و خطا پیش میریم تا آخرین عدد سه رقمی رو بدست بیاریم . سپسس اخرین عدد بدست آمده رو +عدد اول میکنیم و سپس تقسیم بر قدر نسبت که همان فاصله است میکنیم بعد +1 میشه تعداد اون عددها . باتشکر