Question

خاصیت تعامد چبیشف را در حالتی که $ \sum t_i(x_k) t_j(x_k)=0$ $i \neq j$ k=0,...,n-1

را اثبات کنید.

Comments

جمله‌بندی‌تان خیلی بد است! بعلاوه اندیس‌گذار $k$ را در زیگمایتان باید بنویسید نه همینطوری هر جای جمله بیندازید.
بعلاوه $x_k$ها را چه گرفته‌اید؟ برای نمونه اگر $i$ و $j$ را صفر و یک بگیرید آنگاه $T_0$ و $T_1$ تابع ثابت یک و تابع همانی می‌شوند. و ضابطه‌ای که نوشتید می‌شود جمع نقاطتان! به نظرتان جمع یک تعداد نقطهٔ دلخواه صفر می‌شود؟ یا هر دو عدد حسابی نایکسان دلخواه دیگر که بردارید، کماکان برای یک تعداد نقطهٔ دلخواه رابطه‌تان برقرار نیست!

Answer 1

همان‌گونه که در دیدگاه بالا اشاره داشتم تعامدی که شما در متن پرسش‌تان نوشته‌ایدکاملا اشتباه است! تعامدی که برای چندجمله‌ای‌های چبیشف بیان می‌شود نسبت به ضرب‌داخلی وزن‌دار ویژه‌ای است.

ضرب داخلی وزن‌دار دو چندجمله‌ای تک‌متغیرهٔ حقیقی‌مقدار نسبت به وزن $w(x)$ (که یک چندجمله‌ای است) روی بازهٔ $[a,b]$ به شکل زیر تعریف می‌شود. $$\langle f(x),g(x)\rangle_{w(x)}=\int_a^b f(x)g(x)w(x)dx$$ وزنی که ضرب داخلی دو چندجمله‌ای (نایکسان) چبیشف نسبت به آن صفر می‌شود $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ است و بازهٔ موردنظر نیز $[-1,1]$.

اگر یادتان نیست که چندجمله‌ای‌های چبیشف چه بودند در زیر اشاره‌ای کوتاه به تعریف‌شان داریم.

چندجمله‌ای‌های چبیشف روی بازهٔ $[-1,1]$ تعریف می‌شدند و برای هر عدد حسابیِ $n$ برابر می‌بودند با: $$T_n(x)=\cos(n\arccos x)$$ دو چندجمله‌ای نخست آنها برابر بود با: $$T_0(x)=\cos(0)=1$$ $$T_1(x)=\cos(\arccos x)=x$$ با بازی با روابط مثلثاتی می‌توانید ببینید که $$T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$$ پس با داشتن دو جملهٔ نخست و رابطهٔ بازگشتی بالا نیز می‌توانید چندجمله‌ای‌های چبیشف را بنویسید.

اما اگر به وزن انتخاب‌شدهٔ بالا نگاه کنید و درس حسابان و حساب‌دیفرانسیل دبیرستان را سرسری نگذرانده‌باشید باید متوجه رابطه‌اش با تعریف مثلثاتی چندجمله‌ای‌های چبیشف شده‌باشید! $$(\arccos x)’_x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ پس با یک تغییر متغیر $u=\arccos x$ به سراغ ضرب داخلی وزن‌دار دو چندجمله‌ای چبیشف برای $m$ و $n$ -ِ متمایز می‌رویم. توجه کنید که در هنگام استفاده از تغییر متغیر باید حواستان به بازهٔ انتگرال‌گیری نیز باشد. زمانی‌که $x=1$ داریم $u=0$ و زمانی‌که $x=-1$ داریم $u=\pi$. $$\begin{array}{ll} \int_{-1}^1T_n(x)T_m(x)w(x)dx & =\int_{-1}^1\cos(n\arccos x)\cos(m \arccos x)\frac{1}{1-x^2}\\ & =\int_\pi^0\cos(nu)\cos(mu)du \end{array}$$ اکنون آن دوستانی که می‌گویند چرا باید در دبیرستان روابط تبدیل‌های مثلثاتی جمع به صرب و ضرب به جمع را بیاموزیم، اینجا یک دلیلش را می‌بینند. حاصل انتگرال بالا با کمک همین رابطه‌های مثلثاتی برابر می‌شود با: $$-\int_0^\pi\dfrac{\cos((n+m)u)+\sin((n-m)u)}{2}$$ از اینجا به بعد چیزی نمانده‌است، امیدوارم بدانید که انتگرال $\cos$ می‌شود $\sin$ و اینکه سینوس در صفر و $\pi$ صفر می‌شود.