به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
48,624 بازدید
در دبیرستان توسط pulp (166 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

ثابت کنید در مثلث قائم الزاویه ، میانه وارد بر وتر نصف وتر است؟

توسط jafar (521 امتیاز)
ویرایش شده توسط jafar
+1
میانه را به اندازه خودش ادامه میدهیم بعد به دو راس مثلث وصل میكنیم(4 تا مثلث كوچیك درست میشه) بعد از راه تساوی 2 ضلع و زاویه بین 2 تا 2 تا ثابت میكنیم كه مثلث ها همنهشت اند و به این ترتیب اگه پیش برویم طبق این قضیه که اگر در مثلثی دو زاویه باهم برابر باشند آن مثلث متساوی الساقین است ثابت میشه كه میانه برابر یكی از نصفه های وتر میشود

4 پاسخ

+5 امتیاز
توسط
انتخاب شده توسط admin
 
بهترین پاسخ

enter image description here

اگر میانه ی $ AM$ رو به اندازه ی خودش تا نقطه ی $D$ امتداد بدیم از هم نهشتی مثلث های$AMB$ با $CMD$(بنا به حالت دو ضلع و زاویه ی بین) نتیجه میشه که اضلاع رو به رو یعنی$CD$ و$AB$ با هم برابرند،و به طور مشابه از هم نهشتی دو مثلث $AMC$و $MDB$ نتیجه میشه $AC=BD$و همچنین ما می دونیم چهارضلعی که اضلاع روبه روش باهم برابر باشه متوازی الاضلاع میشه و چون یک زاویه اش قائمه ست پس حتما شکل حاصل مستطیل خواهد بود و میدونیم در هر متوازی الاضلاع قطرها همدیگر رو نصف می کنند از طرفی میدونیم قطرهای مستطیل باهم برابرند پس محل تلاقی قطرها در مستطیل ،قطرها رو به چهار پاره خط مساوی تقسیم میکنه یعنی$AM=MD=CM=MB$ پس$AM$ نصف$CM+BM$ خواهد شد یعنی میانه ی$AM$ نصف وتر خواهد بود

توسط erfanm (13,501 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm
+1
ممنون از جوا ب خوب وقشنگتون اگر شکل رو هم میکشیدید بهتر میشد.(شکل رو اضافه میکنم.)
اگر وقتی عبارتی ریاضی یا حتی طول یک ضلع رو مینویسید اون رو درون دو دلار بنویسید یا بعد از کلیک روی دکمه تایپ ریاضی درون عبارت ظاهر شده بنویسید متن زیبا  تر میشود بنده این کار رو براتون در این جواب انجام میدم تفاوتش رو ببینید.
توسط
+1
ممنون خیلی عالی بود
توسط fatemeh tahmasebi (11 امتیاز)
متشکرم. عالی بود
+6 امتیاز
توسط OXIDE (677 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مثلث قائم الزاویه را در یک دایره محاط می‌کنیم: مرکز دایره روی وتر مثلث است پس پای میانه وارد بر وتر نیز می‌باشد از آنجایی که وتر مثلث برابر قطردایره و میانه برابر شعاع دایره است پس میانه نصف وتر است.

enter image description here

+3 امتیاز
توسط AQSHIN (279 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

enter image description here

در مثلث $ AHB$ طبق رابطه فیثاغورث داریم: $$ AH^2=c^2-(x-y)^2 \tag{*}\label{*}$$ در مثلث $AHC $ طبق رابطه فیثاغورث داریم: $$ AH^2=b^2-(x+y)^2 \tag{**}\label{**}$$ و همچنین در مثلث $ AHM $ طبق رابطه فیثاغورث داریم: $$ AM^2=AH^2+y^2 $$ در رابطه آخر به جای $AH$ مساوی هایش در $\eqref{*},\eqref{**} $ را می نویسیم خواهیم داشت: $$ AM^2=c^2-(x-y)^2+y^2=c^2-x^2+2xy \tag{1}\label{1}$$ $$AM^2=b^2-(x+y)^2+y^2=b^2-x^2-2xy \tag{2}\label{2}$$ با جمع رابطه های $\eqref{1},\eqref{2} $ داریم: $$ \color{yellow}{\underline{\color{black}{2AM^2=c^2+b^2-2x^2}}} $$ و از آنجا که $ x=\frac{BC}{2}=\frac a2 $ است و $ a^2=b^2+c^2$ لذا خواهیم داشت: $$\begin{align}2AM^2&=b^2+c^2-2x^2\\&=a^2-2(\frac a2)^2\\&=a^2-\frac{a^2}{2}\\&=\frac{a^2}{2} \end{align}$$ و لذا $ AM^2=\frac{a^2}{4}$ و در نتیجه $AM=\frac{a}{2} $ .

توسط jafar (521 امتیاز)
این راه خیلی طولانیه!!
و اگر دیدگاه بالا رو نگا کنی میتونی یه راه حل راحت تر پیدا کنی.
ممنون از جوابت
توسط AQSHIN (279 امتیاز)
ویرایش شده توسط AQSHIN
+1
آره .
ولی هدفم این بود : اونایی که رابطه اندازه میانه با سایر ضلع های مثلث رو  نمیدونن، ببینن.
 ایده اینم خیلی سادست (از 4تا مثلث قاءم الزاویه کمک گرفتیم) . وقتی بخوای با توضیح کامل بنویسی اینجوری طولانی میشه.
 ایده ات خیلی جالب بود. ممنون
توسط erfanm (13,501 امتیاز)
+1
ممنون جواب جالبی بود.
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
@jafar طول پاسخ مهم نیست، تنها درستی یا نادرستی پاسخ مهم است. بعلاوه هر ایده‌ای زیبایی خودش را دارد.
0 امتیاز
قبل توسط Elyas1 (2,233 امتیاز)

به نام خدا.

مثلث قائم الزاویه $ABC$ را در نظر بگیرید که $ \angle B=90$ می باشد.( شکل زیر)

توضیحات تصویر

میانه $BD$ را رسم می کنیم.

فرض خلف می کنیم . فرض می کنیم که حکم نادرست است. پس دو حالت داریم:

حالت اول: $BD>AD=CD$

اگر $BD>AD$ باشد، آنگاه $ \angle A> \angle ABD$

علت هم واضح است زیرا در یک مثلث زاویه روبه رو به ضلع بزرگتر، بزرگتر است از زاویه روبه رو به ضلع کوچکتر.

چون $BD>CD$ پس $ \angle C> \angle CBD$

حال دو نامساوی فوق را جمع می کنیم:

$ \angle A+ \angle C> \angle ABD+ \angle CBD= \angle B=90$

اما این یک تناقض است! زیرا با توجه به اینکه مجموع زوایای یک مثلث $180°$ است پس باید $ \angle A+ \angle C=90$ باشد.

حالت بعدی یعنی $BD< AD=CD$ مانند قبل است و در نهایت به تناقض بر خواهیم خورد. پس فرض خلف باطل است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...