به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
89 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط Mahmoud kian

فرض کنیم G=H*k تجزیه ای از گروه G به حاصلضرب مستقیم زیر گروه هایش باشد . ثابت کنید اگر G در شرط زنجیر صعودی (نزولی ) صدق کند آنگاه H,K نیز در شرط زنجیر صعودی (نزولی ) صدق میکنند .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط Mahmoud kian
 
بهترین پاسخ

بسیار ساده است. نکتهٔ پرسش این است که اگر $G$ حاصلضرب مستقیم دو زیرگروهش مانند $H$ و $K$ باشد آنگاه داریم $\dfrac{G}{H}\cong K$ و $\dfrac{G}{K}\cong H$. پس کافیست ثابت کنیم که $\dfrac{G}{K}$ و $\dfrac{G}{H}$ در شرط خواسته‌شده صدق می‌کنند. اثبات یکی کافیست زیرا دیگری به طریق مشابه صورت می‌گیرد. یک زیرگروه از $\dfrac{G}{K}$ به شکل $\dfrac{L}{K}$ است که $L$ زیرگروهی از $G$ و دربردارندهٔ $K$ است. پس اگر یک زیجیر افزایشی (صعودی) از زیرگروه‌های $\dfrac{G}{K}$ بردارم یعنی در واقع یک زنجیر افزایشی از زیرگروه‌های $G$ برداشته‌ام که $K$ را در برداند (و سپس خارج قسمت بر $K$ گرفته‌ام). اما بنا به فرض هر زنجیر افزایشی از زیرگروه‌های $G$ ایستاست. پس کار تمام می‌شود.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...