Question

ُابت کنید بی نهایت عدد وجود دارد که نمی توان انها را به شکل $a^2+p$ نوشت که $p$ عددی اول است.

Answer 1

یک مربع کامل مثل $n^2$ را در نظر بگیرید :

$n^2=a^2+p$ در نتیجه $(n-a)(n+a)=p$ پس $n=a+1$ پس اگر $n+a=2a+1$ اول نباشد نمیتوان $n^2$ را به صورت $a^2+p$ نوشت . پس باید ثابت کنیم تعداد $a$ هایی که $2a+1$ اول نیست بینهایت است .

چون $2a+1$ یعنی همان اعداد فرد و تعداد اعداد فرد که اول نیستند بینهایت است پس تعداد اعداد به صورت $2a+1$ که اول نیستند نیز بینهایت است .