واضح است که شما باید تغییر دهید ترتیب انتگرال گرفتن در نتیجه خواهیم داشت :
$$\int_0^9\int_{\sqrt{x}}^3\frac{x}{y^3}e^{y^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_0^3\int_0^{y^2}\frac{x}{y^3}e^{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
ابتدا نسبت به $ x $ انتگرال میگیریم و سپس نسبت به $y$ :
$$ \int_0^3 \big(\int_{0}^{y^2} \frac{x}{y^3}e^{(y^2)}dx \big)dy=\int_0^3 \big( \frac{x^2}{2y^3}e^{(y^2)}\Big|_{x=0}^{y^2}\big)dy=\int_0^3 \ \frac{y}{2}e^{(y^2)}dy$$
حالا متغییر را تغییر میدهیم :
$$u=y^2$$
از دو طرف دیفرانسیل گرفته :
$$u=y^2 \to du=2ydy$$
با توجه به تغییر متغییر کران های انتگرال تغییر میکنند از $0$ تا $9$ :
خواهیم داشت :
$$\int_0^9 \frac{1}{4}e^{u}du=\frac{1}{4}e^{u}\Big|_{u=0}^9=\frac{e^9-1}{4}$$
