اگر $f$ تابعی صعودی باشد و $x< y$ در دامنه ی $f$ باشند آنگاه $f(x)< f(y)$ و اگر نزولی باشد داریم $f(x)> f(y)$ .
می دانیم که $\log_a x$ برای $a> 1$ تابعی صعودی است پس اگر
$x< y$ داریم $ \log_a x< \log_a y $ .
و $\log_a x$ برای $0< a< 1$ نزولی است لذا از $x< y$ داریم $\log_a x> \log_a y$ .
برای تساوی هم که واضحه در هر تابع چنانچه $a=b$ داریم $f(a)=f(b)$ و لگاریتم هم یک تابع است.
توجه کنید که در موارد بالا به جای $a,b$ می تواند تابع های دیگری قرار گیرد و مادامی که آن توابع در دامنه تابع لگاریتمی قرار گیرند می توانیم از طرفین با توجه به صعودی نزولی بودن لگاریتم بگیریم.
