به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
194 بازدید
در دبیرستان توسط saatri80 (26 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مجموعهٔ عددهای طبیعی ای که با قرار دادن آنها به جای $\alpha$ دست کم یکی از دو عدد $\sqrt[3]{2+\alpha}$ و $\sqrt[3]{2-\alpha}$ صحیح شود را بیابید.

توسط AmirHosein (17,560 امتیاز)
+2
@saatri80 منظورتان از «مجموع»، مجموعه بوده‌است یا جمع؟ منظورتان از «جواب زیر» چیست؟ این دو عبارت پاسخ‌های یک معادله بوده‌اند؟ عنوان پرسش‌تان نیز مناسب نیست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (17,560 امتیاز)

این مجموعه یک مجموعهٔ متناهی نیست، چون برای هر عددِ صحیحِ دلخواهی مانند $k$ اگر قرار دهید $\alpha=k^3-2$، آنگاه $\sqrt[3]{\alpha+2}=k$ می‌شود. چون $k$ را صحیح برمی‌داریم پس $k^2$ نیز صحیح و به دنبالش $k^3-2$ صحیح است. تنها نیاز دارید که نامثبت نشود پس باید $k^3-2>0$ که برابر است با $k^3>2$. پس برای هر $k\geq 2$ عددهای $k^3-2$ واجدِ شرایط هستند. و توجه کنید که هیچ عدد طبیعی دیگری غیر از این‌هایی که گفتیم $\sqrt[3]{\alpha+2}$ را نمی‌توانند صحیح کنند. اکنون به سراغِ $\sqrt[3]{\alpha-2}$ برویم. دوباره برای هر عدد صحیح $k$، اگر قرار دهیم $\alpha=k^3+2$ داریم $\sqrt[3]{\alpha-2}=k$. باید $k^3+2$ طبیعی شود پس $k^3>-2$. این به ما $k>-1$ را می‌دهد. و با دلیل یکسان قبلی اینها تنها عددهای طبیعی مجاز هستند. پس کل مجموعهٔ خواسته‌شده‌را یافتیم.

$$\lbrace k^3-2\mid k\in\mathbb{Z}, k\geq 2\rbrace\cup\lbrace k^3+2\mid k\in\mathbb{Z}, k\geq -1\rbrace$$

کوچکترین عضو این مجموعه ۱ است (توجه کنید که $\sqrt[3]{1-2}=-1$) ولی این مجموعه از بالا بیکران است. چند عضو شروع این مجموعه در زیر آورده شده‌اند (زمانی که اعضای آن را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم).

$$\lbrace 1, 2, 3, 6, 10, 25, 29, 62, 66, 123, 127, 214, 218, 341, 345, ...\rbrace$$

دوستانی که علاقه به دنباله‌ها دارند به راحتی می‌توانند برای اعضای بالا زمانی که مرتب‌شده‌اند، یک ضابطه بدهند. پست‌های زیادی در همین سایت پیرامون یافتنِ ضابطهٔ دنباله‌ها وجود دارد که می‌توانند برای یافتن چندین ضابطهٔ متفاوت کمک‌تان کنند.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...