Question

درون یک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع واحد بزرگترین مربع ممکن را قرار میدهیم. اندازه ضلع این مربع را بدست آورید

Answer 1

$(1-b)^2-( \frac{1-b}{2})^2=b^2 $

$b=\frac{ \sqrt[]{3} }{2+\sqrt[]{3}}=2\sqrt[]{3}-3$

Answer 2

حال مثلث $ \triangle BMP$ را در نظر بگیرید با استفاده از داشته های مثلثاتی خواهیم داشت :

$$\sin 60^ \circ =\dfrac{MP}{BM} \to BM=\dfrac{2\sqrt{3}}{{3}}MP \tag{1}$$ $$\cot 60^ \circ =\dfrac{BP}{MP} \stackrel{(1)}\to BP=\dfrac{\sqrt{3}}{3}MP \tag{2}$$

حال با توجه به شکل در میابیم که $ \triangle BMP \cong \triangle CNQ$ بنابراین :

$$BP=CQ$$

حال چون $MNPQ$ مربع است و ضلع مثلث متساوی الضلاع یک است بنابراین :

$$MP=PQ$$ $$2BP+MP=1 \stackrel{(2)}\to \dfrac{2\sqrt{3}}{3}MP+MP=1\to MP=2\sqrt{3}-3$$

که $MP$ ضلع مربع است .

Comments

سلام cos 60 اشتباهه cot60 درسته لطفا تصحیح نمایید. با تشکر

Answer 3

اگر مربعی به ضلع $ x $ درون یک مثلث محاط شود بصورتی که یک ضلع مربع بر روی قاعده مثلث به طول $ a $ قرار بگیرد رابطه زیر همواره برقرار خواهد بود :
( $h $ ارتفاع وارد بر $ a $ می باشد)

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{h} =\frac{1}{x} $

بنابراین طبق فرمول بالا ضلع مربع بدست می آید