محاسبه بعد زیر فضای ماتریسی

Question

Comments

- تایپ متن پرسش چیز سختی ندارد که شکل بارگذاری کرده‌اید. بارگذاری شکل تنها برای بارگذاری شکل است نه خود متنی که می‌توان تایپ کرد!
- بعلاوه در قسمت مرجع، نام کتاب/مقاله و نویسندهٔ کتابی/مقاله‌ای که در آن به این پرسش برخورد کرده‌اید را می‌آورند نه عنوان درس! عنوان و موضوع در قالب برچسب آورده‌ می‌شود!
- سپس اینکه شما باید اشاره کنید که چه چیزی را متوجه نشده‌اید نه اینکه پرسشی را کپی پیست کنید تا پاسخش را برایتان بنویسند.

---

سوال دکتری 95 بود. باید در قسمت مرجع ذکر می کردید.

Answer 1

اگه فضای مورد نظر رو $v$ در نظر بگیریم و ماتریس ها رو $ M_{1} = \begin{bmatrix}0 & 6 \\3& 3\end{bmatrix} $ و $ M_{2} = \begin{bmatrix}2 & -4 \\-5 & 7\end{bmatrix} $ و $ M_{3} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 5 \end{bmatrix} $و $ M_{4} = \begin{bmatrix}1 & -5 \\-4 & 2 \end{bmatrix} $ طبق صورت سوال $v=span \lbrace M_{1} , M_{2} , M_{3} , M_{4} \rbrace $. برای به دست آوردن بعد کافیه یه زیرمجموعه مستقل خطی از مجموعه شامل 4 تا ماتریس به دست بیاریم. برای این کار ماتریس ها رو بردار درنظر می‌گیریم و مثل بردار باهاشون رفتار می‌کنیم و اونا رو تو یه ماتریس قرار میدیم و اعمال سطری مقدماتی رو روی ماتریس انجام میدیم و فرم سطری پلکانی کاهش یافته رو به دست میاریم در این صورت سطرهای ناصفر مستقل خطی اند. بنابراین داریم $ \begin{bmatrix}0 & 6 & 3 & 3 \\2 & -4 & -5 & 7\\ 1 & 1 & -1 & 5 \\ 1 & -5 & -4 & 2 \end{bmatrix} $ به دست آوردن فرم کاهش یافته برعهده خودتون ولی بعد از محاسبه فقط دو سطر اول ماتریس ناصفر هستن پس دوتا ماتریس اول مستقل خطی اند و مولد فضا هستن و بعد 2. دلیل مولد بودن دو تا بردار هم واضحه اگه اعمال سطری مقدماتی که انجام میدین رو بنویسین از سطهای صفر نتیجه میشه که $ M_{3} = \frac{1}{2} ( M_{1} + M_{2} )$ و $ M_{4} = \frac{1}{2} ( M_{2} - M_{1} )$ پس هر بردار در $v$ رو میشه به صورت ترکیب خطی $ M_{1} , M_{2} $ نوشت پس مولده.