سلام دوست عزیز,
من اول تعریف حساس بودن به شرایط اولیه را میگویم.
تابع
$f:J \to J$ دارای وابستگی به شرایط اولیه هست هر گاه
$\delta > 0$ موجود باشد. بطوری که برای هر $x \in J$ ,
و هر همسایگی $N$ از $x$.
$y \in N$ و $n \geq 0$
موجودباشد بطوری که
$|f^n(x)-f^n(y)| > \delta$.
حالت اول: اگر فرض کنیم $m>1$
حال با انتخاب $\delta=1$
و هر همسایگی از $x$ با استفاده از قانون ارشمیدس $n\in \mathbb N$ موجود است که $m^n|x-y| > 1$
بنابرین داریم:
$$f^n(x)-f^n(y)|=m^n|x-y| > 1$$
حالت دوم:
اگر فرض کنیم $m <1$ باشد دراین صورت با وارون تابع کار می کنیم:
$$|f^{-n}(x)-f^{-n}(y)|=\frac{1}{m^n}|x-y| > 1$$
با انتخاب $\delta=1$
و روندی مشابه قوق داریم نگاشت مفروض دارای حساسیت به شرایط اولیه است.
حالت سوم
ولی اگر $m=1$
در این صورت نگاشت ایزومتریست و دارای حساسیت به شرایط اولیه نیست.
