استفاده از گویهای باز به جای مجموعه باز درتعریف موضعا اقلیدسی

Question

چرا در تعریف موضعا اقلیدسی می توان به جای مجموعه های باز در $\mathbb{R}^n$ از گوی های باز یا حتی خود $\mathbb{R}^n$ استفاده کرد

Comments

تعریف موضعا اقلیدسی را بنویسید.

---

خاصیت موضعا اقلیدسی به این معنی است که برای هر نقطهp در فضای توپولوژی M یک مجموعه باز در M داریم شامل p و نیز یک مجموعه باز در$\mathbb{R}^n$  داریم و یک همئومورفیزم بین این دو مجموعه باز
حالا منظور من این بود که در این تعریف به جای مجموعه باز در$\mathbb{R}^n$  گوی باز استفاده کنیم یا حتی خود $\mathbb{R}^n$ را

---

فرمول رو هم اصلاح کردم سپاسگذارم

Answer 1

فرض کنید $U$ مجموعه باز شامل $p$ و $V$ مجموعه باز در $\mathbb R^n$ باشد که در تعریف موضعا اقلیدسی نوشتید. چون $V$ همسایگی $f(p)$ است لذا گوی باز به مرکز $f(p)$ مشمول در $V$ مثل $B(f(p),r)$ موجود است. در اینصورت $f^{-1}(B(f(p),r))$ مجموعه ای باز شامل $p$ هست و واضح است که $f:f^{-1}(B(f(p),r))\to B(f(p),r)$ یک‌همئومورفیسم است.

و اینکه می توانید حتی خود $\mathbb R^n$ را در نظر بگیرید به این دلیل هست که هر گوی باز در $\mathbb R^n$ با $\mathbb R^n$ همئومورف است.