Question

نشان دهید که یک زیرفضا مناسب بسته از یک فضای خطی نرمدارهیچ جا متراکم است . به طور خاص، هر زیرفضا مناسب بعدی متناهی از یک فضای خطی نرمدار هیچ جا متراکم است .)

Comments

Show  that  a  closed  proper   subspace  of  a normed  linear   space  is  nowhere  dense.  In  particular , every  finite  dimensional  proper  subspace  of  a  normed  linear  space  is  nowhere  dense.

Answer 1

قرض کنید $X $ یک فضای نرمدار و $ A $ یک زیر فضای محض آن باشد.اگر $ A $ هیج جا چگال نباشد آنگاه $ \overline{A}^o=A^o \neq \emptyset $ لذا $ A $ دارای یک همسایگی مانند
$ V $ خواهد بود.از طرفی $A $ زیر فضاست لذا برای هر عدد طبیعی $ n $ داریم $ nV \subseteq A $ . در نتیجه $X= \cup_{n=1}^ \infty nV \subseteq A $ که این با زیر فضای محض بودن $ A $ در تناقض است. برای قسمت دوم اگر $A $ متناهی بعد باشد بسته خواهد بود و همین مطلب دوباره تکرار می شود.