Question

اگر $A$ و $B$ دو ماتریس معین مثبت $n\times n$ باشند، نشان دهید $\|A\|_2\leq \|A+B\|_2$

تلاش من:با استفاده از تعریف نرم 2 ،شعاع طیفی و مقادیر ویژه رفتم اما ناقص میمونه و به یک برهان قاطع نمیتونم برسم

Comments

سلام. دوست عزیز و گرامی برای تایپ ریاضی در قسمت عنوان به مشکل برخوردم. برای همین در قسمت متن اصلی نوشتم و دلیل دیگه ای نداره. سوال یک نامساوی جبرخطی درباره ماتریس های معین مثبت هستش که اثبات لازم داره

---

کافیه بردار ویژه رو یکه درنظر بگیرید اونوقت از معین مثبت بودن حکم به راحتی نتیجه میشه.

---

امکانش هست اگه جوابشو میدونید بزارید

---

ماتریس ها نباید متقارن باشند؟ سوال رو از صفحه چند کتاب فورد ذکر کردید؟

---

ماتریس ها متقارن باید باشه.

Answer 1

فرض کنیم $ \lambda $ بزرگترین مقدار ویژه ماتریس $A$ باشه و $x$ بردار ویژه نظیر یکه آن باشد .در این صورت

$$ \sigma _{A} = x^{t} Ax \leq x^{t} (A+B)x \leq \sigma _{A+B} $$

این حکم رو ثابت میکنه.( از معین مثبت بودن در بالا استفاده شده).

Comments

@admin
سلام. پاسخ رو با فرض متقارن بودن نوشتم بعد دیدم که تو سوال همچین فرضی نشده. خواستم حذف کنم که دیدم همچین امکانی وجود نداره. بنابراین جواب رو حذف کردم و اون متن رو نوشتم. و از پرسش گر سوالی رو پرسیدم.( اگر راه دیگه ای وجود داشت ذکر بفرمایید تا دفعات بعدی از اون راه استفاده کنیم)

---

خوب الان جواب چی شد

---

@kazomano
سلام. اگر پاسخ رو پنهان میکردید دیگر کاربران دیگر قادر به دیدن آن نبودند(فقط مدیریت کل می تواند سوال یا پاسخ را کلا حذف کند)

---

سلام. دوستان در سوال فقط به معین مثبت بودن اشاره شده و هیچ اطلاعی راجع به متقارن بودن یا نبودنش وجود نداره...سوال هم از نمونه سوالات پایان ترم جبرخطی عددی با رفرنس تدریس فورد هست اما خودم در فورد پیداش نکردم

---

@ علیرضا
مرجع فورد تعریف معین مثبت رو برای ماتریس های متقارن آورده یعنی ماتریس متقارن را معین مثبت گویند اگر...
درواقع در جبرخطی عددی معمولا وقتی گفته میشه معین مثبت منظور متقارن معین مثبته.