اگر عملگری پیوسته باشد لذا در تمام نقاط از جمله صفر پیوسته است لذا یک طرف واضح است.
فرض کنید عملگر $ T:X \rightarrow Y $ در صفر پیوسته باشد نشان میدهیم در نقطه ی دلخواه $ x $ هم پیوسته است.و فرض $ \epsilon $ داده شده باشد. طبق تعریف پیوستگی در صفر یک $ \delta $ وجود دارد که به ازای هر $ h \in X $ که $ \parallel h \parallel \leq \delta $ داریم
$$ \parallel T(h)-T(0) \parallel =\parallel T(h) \parallel < \epsilon \tag{1} \label{1} $$ .
حال پیوستگی در نقطه ی دلخواه $ x $ : فرض کنید $ y \in X $ چنان باشد که $ \parallel x-y \parallel \leq \delta $ داریم:
$$\parallel T(x)-T(y) \parallel =\parallel T(x-y) \parallel { < }^{\eqref{1}} \epsilon $$
