یک عملگر خطی یک به یک است اگروتنها اگر هسته آن صفر باشد.

Question

$T$ یک عملگر یک به یک است اگر و فقط اگر $Ker T=0$

Comments

خوبه که همیشه بگید دارید در مورد چه فضایی بحث می کنید . دامنه و برد $T$ چیه؟
و عنوان درست هم انتخاب کنید لطفا.

Answer 1

اگر $T$ یک به یک باشد آنگاه با توجه به اینکه در عملگرهای خطی $T(0)=0$ پس اگر $T(x)=0$ آنگاه $T(x)=0=T(0)$ و لذا از یک به یک بودن نتیجه می شود $x=0$ پس $Ker(T)=\{x: T(x)=0\}=\{0\}$

برای عکس مطلب بالا اگر $Ker(T)=\{0\}$ آنگاه نشان می دهیم $T$ یک به یک است: فرض کنیم $T(x)=T(y)$ از خطی بودن داریم $T(x-y)=0$ یعنی $x-y\in Ker(T)=\{0\}$ پس $x-y=0$ و لذا $x=y$ .