اگر $T $ یک به یک باشد آنگاه با توجه به اینکه در عملگرهای خطی $ T(0)=0$ پس اگر $ T(x)=0 $ آنگاه $ T(x)=0=T(0) $ و لذا از یک به یک بودن نتیجه می شود $x=0 $ پس $ Ker(T)=\{x: T(x)=0\}=\{0\} $
برای عکس مطلب بالا اگر $ Ker(T)=\{0\} $ آنگاه نشان می دهیم $T $ یک به یک است: فرض کنیم
$T(x)=T(y) $ از خطی بودن داریم $ T(x-y)=0 $ یعنی $ x-y\in Ker(T)=\{0\}$ پس $ x-y=0 $ و لذا $ x=y$ .
