یک عملگر خطی یک به یک است اگروتنها اگر هسته آن صفر باشد.

Question

$T $ یک عملگر یک به یک است اگر و فقط اگر $ Ker T=0 $

Comments

خوبه که همیشه بگید دارید در مورد چه فضایی بحث می کنید . دامنه و برد $T$ چیه؟
و عنوان درست هم انتخاب کنید لطفا.

Answer 1

اگر $T $ یک به یک باشد آنگاه با توجه به اینکه در عملگرهای خطی $ T(0)=0$ پس اگر $ T(x)=0 $ آنگاه $ T(x)=0=T(0) $ و لذا از یک به یک بودن نتیجه می شود $x=0 $ پس $ Ker(T)=\{x: T(x)=0\}=\{0\} $

برای عکس مطلب بالا اگر $ Ker(T)=\{0\} $ آنگاه نشان می دهیم $T $ یک به یک است: فرض کنیم $T(x)=T(y) $ از خطی بودن داریم $ T(x-y)=0 $ یعنی $ x-y\in Ker(T)=\{0\}$ پس $ x-y=0 $ و لذا $ x=y$ .