مقدار سری $\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(\frac\pi3n)}{2^n}$

Question

دوستان، امکانش هست راه حل این سوال رو آمورزش بدید.

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(\frac\pi3n)}{2^n}=?$$

ممنون

Comments

لطفا عنوان مناسب بنویسید از این به بعد. عنوان شما "محاسبه زیگما در بی نهایت" بود که اصلا جالب نیست.

Answer 1

از فرمول اویلر می دانیم که برای هر عدد حقیقی $x$ داریم $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

پس $$\sum_{n=0}^\infty e^{i\frac\pi3n}=\sum_{n=0}^\infty\cos(\frac\pi3n)+i\sum_{n=0}^\infty\sin (\frac\pi3n)$$

و لذا $$\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i\frac\pi3n}}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(\frac\pi3n)}{2^n}+i\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin (\frac\pi3n)}{2^n}$$

پس کافی است قسمت حقیقی $ \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i\frac\pi3n}}{2^n} $ را بیابیم.

$$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i\frac\pi3n}}{2^n}&=\sum_{n=0}^\infty (\frac{e^{i\frac\pi3}}{2})^n\\ &=\frac{1}{1-\frac{e^{i\frac\pi3}}{2}}\\ &=\frac{1}{1-\frac{1}4-i\frac {\sqrt 3}4}\\ &=\frac{1}{\frac{3}4-i\frac {\sqrt 3}4}\\ &=\frac{4}{3-i\sqrt 3}\end{align}$$

اگر عبارت اخیر را در مزدوج ضرب کنید و ساده کنید داریم:

$$\frac{4}{3-i\sqrt 3}\times \frac{3+i\sqrt 3}{3+i\sqrt 3}=\frac{12+i4\sqrt{3}}{3^2-(i\sqrt 3)^2}=\frac{12+i4\sqrt{3}}{12}=1+i\frac{\sqrt 3}{3}$$

پس قسمت حقیقی برابر $1$ شد لذا $$\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(\frac\pi3n)}{2^n}=1$$

Answer 2

$|\sum_{n=0}^{ \infty} \frac{cos(\frac{\pi}{3})n}{2^n}| < \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{1}{2^n} =1$

Comments

ایشون جواب سری رو خواستن. شما فقط نشون دادید که سری همگراست.

---

البته $\sum_{n=0}^{ \infty}  \frac{1}{2^n} =2$