از فرمول اویلر می دانیم که برای هر عدد حقیقی $x$ داریم
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
پس
$$\sum_{n=0}^\infty e^{i\frac\pi3n}=\sum_{n=0}^\infty\cos(\frac\pi3n)+i\sum_{n=0}^\infty\sin (\frac\pi3n)$$
و لذا
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i\frac\pi3n}}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(\frac\pi3n)}{2^n}+i\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin (\frac\pi3n)}{2^n}$$
پس کافی است قسمت حقیقی $ \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i\frac\pi3n}}{2^n} $ را بیابیم.
$$\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{i\frac\pi3n}}{2^n}&=\sum_{n=0}^\infty (\frac{e^{i\frac\pi3}}{2})^n\\
&=\frac{1}{1-\frac{e^{i\frac\pi3}}{2}}\\
&=\frac{1}{1-\frac{1}4-i\frac {\sqrt 3}4}\\
&=\frac{1}{\frac{3}4-i\frac {\sqrt 3}4}\\
&=\frac{4}{3-i\sqrt 3}\end{align}$$
اگر عبارت اخیر را در مزدوج ضرب کنید و ساده کنید داریم:
$$\frac{4}{3-i\sqrt 3}\times \frac{3+i\sqrt 3}{3+i\sqrt 3}=\frac{12+i4\sqrt{3}}{3^2-(i\sqrt 3)^2}=\frac{12+i4\sqrt{3}}{12}=1+i\frac{\sqrt 3}{3}$$
پس قسمت حقیقی برابر $1$ شد لذا
$$\sum_{n=0}^\infty\frac{\cos(\frac\pi3n)}{2^n}=1$$
