چون اثبات قضیه طولانی است من فقط جاهایی که احتیاج به توضیح دارند را مینویسم اگر جایی رو از قلم انداختم در یک دیدگاه بنویسید تا توضیح بدم.
با استفاده از نمادهای بکار رفته در کتاب هرزوگ هیبی داریم:
میگوییم $ h_{i,i+j}(r) $ اکسترمال است اگر $ h_{i,i+j}(r) \neq 0 $ و برای هر $ (k,l) \neq (i,j) $ که $k \geq i,l \geq j $ داشته باشیم $ h_{k,k+l}(r)=0$
اثبات بر اساس اثبات دو نکته است:
$ h_{i,i+j}(r) \ \ \ (i)$ برای $r \geq 2 $ اکسترمال است اگر و تنها اگر $ h_{i-1,i-1+j}(r-1)$ اکسترمال باشد .
$ h_{1,1+j}(r) \ \ \ (ii)$ اکسترمال است اگر و تنها اگر $ \alpha _{r-1,+j}$ اکسترمال باشد .
فرض کنید که این دو رابطه برقرار باشند لذا با توجه به اینکه $ \beta _{i,i+j} =h_{i,i+j}(n) $ اکسترمال بودن
$ \beta _{i,i+j} $ معادل اکسترمال بودن $ h_{i,i+j}(n) $ و با استفاده ی از $ (i) $ معادل اکسترمال بودن $ h_{i-1,i-1+j}(n-1)$ وبا استفاده مجدد از $ (i) $ معادل اکسترمال بودن
$ h_{i-2,i-2+j}(n-2)$ و ... معادل اکسترمال بودن $ h_{i-(i-1),i-(i-1)+j}(r-(i-1))=h_{1,1+j}(n-i+1))$ است و با استفاده از $ (ii) $ معادل اکسترمال بودن $ \alpha _{n-j,j}$ است. و حکم مساله ثابت شد.
حال اثبات $ (i) $:
به کمک جواب سوال طرز نوشتن همبافت کوزول در حالت مدرج
دنباله ی زیر را داریم:($ H_{k} (x ,M)= H_{k} (r) $ که $x= x_{1} ,... .x_{r} $ )
$$... \rightarrow^{ x_{i} } \ \ H_{k} (r-1) \rightarrow H_{k} (r) \rightarrow H_{k-1} (r-1)(-1) \rightarrow^{ x_{i} } \ \ H_{k-1} (r-1) \rightarrow ... $$
که به ازای هر $k,l $ دنباله ی دقیق از فضاهای برداری زیر القا میشود(چون مدرج است لذا میتوانیم فقط مولفه های از در جه ی
$ k+l $ را در نظر میگیریم )
$$...\rightarrow H_{k} (r-1)_{k+l} \rightarrow H_{k} (r)_{k+l}\rightarrow H_{k-1} (r-1)_{k-1+l}\rightarrow H_{k-1} (r-1)_{k-1+l+1}\rightarrow ... \tag{1} \ \label{1} $$
فرض کنید $ h_{i-1,i-1+j}(r-1)$ اکسترمال باشد لذا طبق تعریف اکسترمال چون $i-1 \geq i-1 , j+1 \geq j$
و $(i-1,j+1) \neq (i-1,j)$ داریم: $ h_{i-1,i-1+j+1}(r-1)=0$ اما $ h_{i-1,i-1+j+1}(r-1) =dim_{K} H_{i-1}(r-1)_{i-1+j+1} $ واین یعنی $ H_{i-1}(r-1)_{i-1+j+1}=0 $، از اکسترمال بودن$ h_{i-1,i-1+j}(r-1)$ میدانیم مخالف صفره پس در واقع $ H_{i-1}(r-1)_{i-1+j} \neq 0 $ اگر در دنباله ی بالابجای
$k $ قرار دهیم $ i$ و بجای $ l $ قرار دهیم $j $ سه جمله ی آخر بصورت زیر می شوند که جمله ی آخر صفره و اگر جمله ی اول هم صفر باشه جمله ی وسط یعنی$H_{i-1}(r-1)_{i-1+j}$ صفر می شود که تناقض است لذا باید جمله ی اول یعنی $ H_{i} (r)_{i+j} $مخالف صفر باشد پس $ h_{i,i+j}(r)$ مخالف صفر است.
$$... \rightarrow H_{i} (r)_{i+j} \rightarrow H_{i-1} (r-1)_{i-1+j} \rightarrow H_{i-1} (r-1)_{i-1+j+1} \rightarrow ... $$
ثابت میکنیم برای $(k,l) \neq (i,j) $ که $k \geq i ,l \geq j $ داریم $h_{k,k+l}(r) =0 $
با کمی دقت میبینیم که $(k,l) \neq (i-1,j) ,(k-1,l) \neq (i-1,j) $ لذا از اکسترمال بودن$ h_{i-1,i-1+j}(r-1)$ داریم
$ H_{k-1} (r-1)_{k-1+j} = H_{k} (r-1)_{k+j}=0$ لذا از 3 جمله ی اول $\eqref{1}$ داریم
$ H_{k} (r)_{k+j}=0$ و حکم ثابت شد
عکس رابطه ی $ (i) $:
فرض کنید $h_{i,i+j}(r)$ اکسترمال باشد لذا برای $(k,l) \neq (i,j) $ که $k \geq i ,l \geq j $
( هم ارز است با $(k-1,l) \neq (i-1,j) $ که $k-1 \geq i -1,l \geq j $ )
مقدار $ H_{k} (r)_{k+l} $ صفر است لذا در رابطه ی $\eqref{1}$ (چون کرل این رابطه برابر برد رابطه ی قبل آن است اما برد صفر است چون دامنه ی آن یعنی $ H_{k} (r)_{k+l} $ صفر است)
نگاشت
$$H_{k-1} (r-1)_{k-1+l} \rightarrow H_{k-1} (r-1)_{k-1+l+1}$$
یک به یک است. طبق گزاره ی$ 4.3.5 $ در کتاب هرزوگ هیبی$ H_{k-1} (r-1)$ باطول متناهی است و طبق نکته ای از حلقه و مدولهای مدرج) اگر $M= \bigoplus_{i} M_{i} $ با طول متناهی باشد آنگاه از یک $n$ای به بعد $M_{i} =0 $ است)
لذا اگر $ k-1 $ را ثابت در نظر بگیریم برای $ l $ به اندازه ی کافی بزرگ(یعنی $ l >> 0 $) داریم $H_{k-1} (r-1)_{k-1+l+1}=0$ طبق نگاشت بالا (از یک به یک بودن)یعنی $H_{k-1} (r-1)_{k-1+l}=0 $ phg حال نگاشت را برای $ l$و $l-1 $ مینویسیم با ادامه ی این روند ثابت می شود که برای هر $(k-1,l) \neq (i-1,j) $ که $k-1 \geq i -1,l \geq j $ مقدار $ H_{k-1} (r-1)_{k-1+l} $ صفر است بویژه $ H_{i} (r-1)_{i+j} =H_{i-1} (r-1)_{i-1+j+1}=0$ و لذا جملات اول و آخر در رابطه ی $\eqref{1}$ صفر هستند پس جملات وسط یکریخت هستند و این حکم را ثابت میکند.
