با استفاده از قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ثابت کنید $e^x\geq x+1$

Question

با استفاده از قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ثابت کنید تابع $F(x)=e^x$ بزرگتر یا مساوی تابع $Q(x)=x+1$ است .

Comments

عنوان خوب ننوشته بودید.
به علاوه تلاشی برای حل ننوشتید. خودتون به مساله فکر کردید؟ مثلا در قضیه مقدار میانگین برای انتگرال داریم: $\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$ شما به جای $a,b, f(x)$ چه چیزهایی قرار دادید؟

---

@fardina
من درباره سوال فکر کردم اما به نتیجه نرسیدم چند تا کتابو زیر و رو کردم قضیه های انتگرال رو فهمیدم اما هیچ اثباتی شبیه این ندیدم که بتونم ایده بگیرم . نمیتونم با استفاده از قضیه مقدار میانگین انتگرال به نتیجه درست برسم . شما ایده ای برای اثباتش دارید ؟ ممنون میشم کمک کنید fardina@

---

@آروین
اینکه از تلاشتون بنویسید خیلی مهم هست.
من شما رو راهنمایی کردم. در دیدگاه قبل باید بجای $a, b , f(x)$ چه چیزی قرار بدید؟

---

@fardina
من سعی کردم با روش بازگشتی اثبات کنم یعنی سعی کردم حکم سوال رو به یک عبارت درستی برسونمو بعد اثبات کنم . از حکم نتیجه گرفتم که مقدار c برای تابع f بزرگتر یا مساوی مقدار c برای تابع g هست و بعد با استفاده از قضیه , انتگرال معین در هر بازه دلخواه رو جای گذاری کردم ولی به نتیجه نرسیدم دوباره .
خیلی ممنون که وقت گذاشتید و جواب دادید اما ببخشید من نتونستم از این راهنمایی استفاده کنم. :-(
میشه این سوال رو حل کرد ؟ شما ایده ای دارید ؟

Answer 1

راهنمایی: بنابر قضیه مقدار میانگین برای انتگرال اگر $x>0$ در اینصورت $c\in (0, x)$ موجود است که: $$\int_0^x e^tdt=e^c(x-0)$$

Comments

مگه این قضیه برای بازه ی بسته نیست ؟ میشه بازه باز هم نوشت ؟

---

قضیه ی مقدار میانگین می گوید اگر $f:[a, b]\to \mathbb R$ تابعی پیوسته باشد در اینصورت $c\in (a,b)$ موجود است که $\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$
در اینجا $f(t)=e^t$ و $a=0, b=x$

---

مرسی . الان داشتم از راهنمایی شما استفاده میکردم ولی به چیزی نرسیدم از طرفین انتگرال گرفتم در بازه 0 تا x با شرط مثبت بودن x نتونستم اثبات کنم . کار درستی کردم ؟

---

انتگرال عبارت سمت چپ برابر $e^x-1$ است و چون $c>0$ پس $e^c>1$ پس داریم:
$e^x-1=e^cx>x$

---

باورم نمیشه که راه حلش انقدر کوتاه بود
این سوال خیلی برام مهم بود و شما الان کاری کردید که من اثباتش رو یاد بگیرم این کارتون خیلی ارزشمنده
خیلی خیلی ممنونم . میتونم جبران کنم ؟

---

بعد از گرفتن پاسخ میتوانید به پاسخ امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.
و بعد محفل ریاضی رو به دوستان تان معرفی کنید.

در ضمن هنوز پاسخ کامل نشده. برای وقتی که $x<0$ با استدلالی مشابه $\int_x^0 e^tdt=e^c(0-x)$ می توانید نابرابری را ثابت کنید.
برای $x=0$ هم بوضوح برابری برقرار است.

---

بله بله متوجه شدم پاسخ کامل نشده اما تا همون جا که راهنمایی کردید متوجه شدم . ادامه دادم و یک بار هم با شرط منفی بودن x حل کردم و در نقطه صفر هم برابرند پس حکم اثبات شد . خیلی مرسی