اثبات نامساوی$ \frac{ a^{2} }{2} + \frac{ b^{3} }{3}+ \frac{ c^{6} }{6} \geq abc $

Question

$ \frac{ a^{2} }{2} + \frac{ b^{3} }{3}+ \frac{ c^{6} }{6} \geq abc $اثبات این نامساوی خواسته شده است. فکر میکنم باید از نامساوی $ \frac{ a^{2} }{2}+ \frac{ b^{2} }{2} \geq ab $ استفاده کرد. ولی چندان نتیجه ی جالبی نداشت: $ \frac{ a^{2} }{2}+ \frac{ b^{3} }{3}+ \frac{ c^{6} }{6} = \frac{ a^{2} }{2}+ \frac{ \frac{1}{3}(2 b^{3}+ c^{6} ) }{2} \geq a \sqrt{ \frac{1}{3}(2 b^{3}+ c^{6} ) } $(که با اون نمیشه حکم را ثابت کرد) همچنین حالت تساوی رابطه نیز خواسنه شده است که به ازای 1=a=b=c اینگونه است اما چگونه میتوان اثبات کرد لزوما به ازای اعداد دیگر تساوی برقرار نیست. دقت کنید a و b و c اعداد حقیقی مثبت هستند.

Answer 1

ابتدا طرف سمت چپ نامساوی را به صورت زیر تعریف میکنیم و بازنویسی میکنیم :

$$ f(a,b,c):=\frac{a^2}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^6}{6}=\frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{6}+\frac{a^2}{6}+\frac{b^3}{6}+\frac{b^3}{6}+\frac{c^6}{6}$$

حال با توجه به نابرابری میانگین حسابی-هندسی خواهیم داشت :

$$f(a,b,c) \geq \sqrt[6]{a^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot b^3 \cdot b^3 \cdot c^6}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$f(a,b,c) \geq abc$$ $ .\Box $

Comments

ممکنه حالت تساوی به غیر از a=b=c=1 هم وجود داشته باشه؟

---

ممکنه در مورد نابرابری میانگین حسابی-هندسی توضیح بدید و یا صورتش رو قید کنید.

---

حالت تساوی این نامساوی همانند حالت تساوی در نامساوی حسابی هندسی است . یعنی حالت تساوی وقتی رخ میدهد که اگر و تنها اگر$  a^2=b^3=c^6 $ باشد .

---

@rafig256
به لینک زیر رجوع کنید :
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means

---

ممنون
مطالعه کردم و یاد گرفتم