برای اینکه مفهوم رو خوب متوجه بشید برای ایده آلی در حلقه ی چند جمله ای ها تعریف رو بیان میکنم:
فرض کنید که در حلقه ی $ S=K[ x_{1} ,..., x_{n} ] $ داشته باشیم $ I=( u_{1} ,... u_{m} ) $ همریختی پوشای$ \varphi : S^{m} \rightarrow I$
را بصورت $ e_{i} \longmapsto u_{i} $ تعریف میکنیم هسته ی این عملگر را اولین سیزیجی مدول مینامیم در واقع تصویر هر عنصر از این مدول برابر رابطه ای بین مولدهای $ I $ است که برابر صفر می شود. حال اگر برای مولد های این هسته همین کار را انجام بدهیم(هسته را مانند $ I $ در نظر بگیریم و همریختی را دوباره تعریف کنیم) دومین مدول سیزیجی بدست می آید.
حال اگر در حالت مدرج کار کنیم و مولدهای $ I $ را همگن در نظر بگیریم میتوانیم کاری کنیم که $ \varphi$ همریختی از درجه ی صفر باشد برای این کار اگر $u_{i}$ از مرتبه ی $j $ باشد آنگاه $ e_{i} $ را از درجه ی $ j $ در نظر میگیریم و بجای $ S^{m} $ برای این $u_{i}$ قرار میدهیم $S(-j) $(شیفت $ -j $ برای این است که درجه ی نگاشت صفر شود میتوانید معنای نگاشت از درجه صفر در یک تحلیل آزاد به مراجعه کنید.) و برای دیگر مولد ها این کار را انجام میدهیم اگر چند مولد همگن از یک درجه مانند $ r $ باشند آنگاه چند کپی از $ S(-r) $ داریم لذا میتوانیم یکی را بنویسیم و تعداد را بصورت توان نمایش دهیم.
در این صورت نگاشت بصورت زیر در می آید:
$$ \varphi : S^{r _{1j _{1}} } (-j _{1} ) \bigoplus... \bigoplus S^{r _{1j _{t}} } (-j _{t} ) \rightarrow I$$
که در آن منظور از اندیس$1$ اولین سیزیجی و $ r _{1j _{1}} $ برابر تعداد مولدها از درجه ی
$ j _{1} $ است و لذا
$ \sum_{i=j _{1}}^{j _{t}} r _{1i} =m$
میتوانیم مولد ها را زیاد یا کم کنیم پس اعداد $r _{1j _{i}} $ یکتا نیستند اما اگر برای $ I $ مجموعه مولد مینیمال را در نظر بگیریم این اعداد یکتا میشوند( میتوانید به یکریختی همبافت‌ها در تحلیلهای آزاد مدرج مینیمال رجوع کنید) این اعداد را اعداد بتی می نامیم. در هر مرحله از بدست آوردن مدول سیزیجی مولد های مینیمال را در نظر میگیریم. اعداد بتی را با $ \beta _{ij} $ نمایش میدهیم که $ i $ برابر$i $امین مدول سیزیجی و $ \beta _{ij}$ تعداد مولدها از درجه ی $j $ است.
تعریف در حالت کلی:
فرض کنید $ M$ یک $ R $ مدول باشد و فرض کنید $ ( m_{i})_{i \in I} $ خانواده ای از عناصر در $M $ باشند یک رابطه یا یک سیزیجی ($ Syzygy$)
برابر مجموعه ی$( r_{i})_{i \in I} $(عناصر از حلقه) است بطوریکه $ \sum_i m_{i} r_{i}=0 $(برگرفته از دایره المعارف ریاضی)
البته در بعضی جا ها $ ( m_{i})_{i \in I} $ را برابر مجموعه ی مولد های $ M$ میگیرند.
