چگونه میشود با داشتن پاسخ انتگرال $e^{2x}$، پاسخ انتگرال $x^2e^{x^2}$ را به دست آورد؟

Question

با سلام. صورت مسأله می‌گوید اگر حاصل $ \int_0^∞ exp(-x^2)dx $ برابر $ \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} $ باشد، آنگاه حاصل انتگرال $ \int_0^∞ x^{2}exp(-x^2) dx $ را به دست آورید.

من با استفاده از جز به جز به رابطه زیر رسیدم: $$ x^{2} \int_0^∞ exp(-x^2)dx - \int_0^∞ 2x \int_0^∞ exp(-x^2)dx dx $$ بعد از جایگذاری مقدار $ \int_0^∞ exp(-x^2)dx $ پاسخ می‌شود صفر که با توجه به نمودار تابع $ x^{2}exp(-x^2) $ منطقی نیست. مشکل حل من کجاست؟ و راه حل درست چگونه است؟ با تشکر

Answer 1

اینکه باید از انتگرال جزء به جزء استفاده کنید را درست متوجه شده‌اید ولی در انتخاب $u$ و $dv$ کمی عجله کرده‌اید. نکته اینجاست که اگر $v=e^{-x^2}$ باشد آنگاه $dv=(-2x)e^{-x^2}dx$ اکنون از $x^2$-ِ پشت $e$ در انتگرال اصلی یک $x$ را باید برای $dv$ جدا کنید و یک $x$-ِ باقیمانده را برای $u$. پس $$\begin{array}{ll} \int x^2e^{-x^2}dx & =\int (\frac{-1}{2}x)(-2xe^{-x^2}dx) \\ & =\frac{-1}{2}xe^{-x^2}-\int (e^{-x^2})(\frac{-1}{2}dx) \\ & =\frac{-1}{2}xe^{-x^2}+\frac{1}{2}\int e^{-x^2}dx \end{array}$$ که با گذاشتن ناحیهٔ انتگرال‌گیری خواهید داشت: $$\begin{array}{ll} \int_0^\infty x^2e^{-x^2}dx & =\left.(\frac{-1}{2}xe^{-x^2})\right]_0^\infty+\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-x^2}dx \\ & =(0)+\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}) \\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{4} \end{array}$$ برای اینکه با نرم‌افزار هم پاسخ آخر را چک کرده‌باشید در زیر تصویر پاسخ با نرم‌افزار Mathematica را هم برایتان گذاشته‌ام.