بفرض $f$ چندجمله ای. اگر $n$ همزمان $x-a$ و $f(x)$ را بشمارد، آنگاه $n|f(x)$ . همچنین اگر $(x-a)|f(x)$ را بشمارد، آنگاه $(x-a)|f(a)$.

Question

دو قضیه هست که برای من مبهم هستند. اثبات این دو قضیه چیست و از کجا آمده‌اند؟

اگر $f(x)$ یک چندجمله‌ای با ضرایب صحیح و $n$ و $a$ دو عدد صحیح، آنگاه داریم:

1. $$\Big(\exists x\in\mathbb{Z}\text{ s.t. }\big(n \mid x-a\big)\wedge\big(n \mid f(x)\big)\Big)\Longrightarrow n \mid f(a) $$

2. اگر $x$ عدد صحیحی باشد که $x-a \mid f(x)$ آنگاه برای همان عدد صحیحِ $x$ داریم $x-a \mid f(a)$. یا اگر بخواهید نمادینه‌تر بنویسید: $$\forall x\in\mathbb{Z}\;\colon\;\Big((x-a)\mid f(x)\Longrightarrow (x-a)\mid f(a)\Big)$$

Comments

@aaa طرز نوشتن و بیان چمله‌ها و عبارات و نمادها در ریاضی خیلی مهم است، نحوه‌ای که پیش‌تر نوشته‌بودید معنایی نادرست ایجاد می‌کرد. برای مثال وقتی می‌گوئید $f(x)$ یک چندجمله‌ای، آنگاه $x$ یک متغیر است ولی بعد در فرمول‌هایتان بدون هیچ اشاره‌ای که یک عدد باشد چیزی نوشتید مانند $x-a\mid f(a)$ در حالیکه $f(a)$ یک عدد است و $x-a$ یک چندجمله‌ای، تابع ناثابت است که به هیچ وجه یک عدد، تابع ثابت را نمی‌تواند عاد کند. من برایتان متن را ویرایش کردم. اگر توجه کنید وقتی متن را صحیح بنویسیم (یا بخوانیم یا بیان کنیم) قسمت زیادی از ابهام‌ها رفع می‌شود.

---

@AmirHosein
خیلی ممنون از ایرادی که گرفتید . در واقع من این قضایا را از یک کتاب گسسته نوشته بودم که در آنجا فرض را بر صحیح بودن تمام اعداد میگیرند . فقط من معنی علامت s.t را نمی فهمم.میشود توضیح دهید.

---

@aaa عبارتِ $\text{s.t.}$ کوتاه‌شده (مختصر) such that به معنای «به طوری که» است.

Answer 1

اگر تابع چند جمله ایی $f(x)$ را بر $x-a$ تقسیم کنیم داریم: $$f (x)=(x-a)q (x)+r (x)$$

حال از اینکه $n \mid x-a$ و هم چنین $n \mid f(x)$ نتیجه می شود که n مقدار $r(x)$ را به ازای هر $x$، عاد میکند.

حال اگر به جای x در رابطه تقسیم مقدارa رو قرار دهیم داریم که $r(a)=f(a)$ و این سوال را اثبات می کند.

برای حالت دوم هم به طور مشابه است(چون $x-a \mid (x-a)q (x)$)

Comments

@erfanm برای قسمت نخست، نیازی به برقراری رابطه برای هر $x$ نیست چون در آن حالت حکم بدیهی می‌شود و بدون استفاده از رابطه‌ای که گفتید خیلی راحت با انتخابِ $x=a$ خواهیم داشت $n\mid f(a)$. در واقع نکتهٔ این قسمت اینجاست که $f(y)$ را به شکلِ $\sum_{i=0}^db_iy^i$ بنویسید و سپس $f(x)-f(a)$ را ساده کنید که جمله‌ثابت‌ها خط می‌خورند و از سایر تفاضل‌های با توان یکسان یک $(x-a)$ فاکتور بگیرید. آنگاه چون $n\mid (x-a)$ پس $n\mid(f(x)-f(a))$ و سپس چون $n\mid f(x)$ پس $n\mid f(a)$. در واقع پرسش‌کننده یک مقداری نمادهایش را بد انتخاب کرده‌است که باعث شده‌است در تعبیر $x$ ابهام ایجاد شود.

---

@erfanm
خیلی ممنونم از پاسختان.خیلی خوب بود . فقط نقصی که آقای امیرحسین به جوابتان وارد کردند صحیح بود.

---

@amirhosein
حق با شماست
اثباتی که گفتید رو با اجازه شما به جواب اضافه می کنم

---

@aaa
خواهش میکنم
درست می فرمایید
ان شاءالله اصلاحش میکنم

---

@erfanm خواهش می‌کنم، نیازی به اجازه نیست :)