به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
149 بازدید
در دانشگاه توسط fahime (127 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

فرض کنیم $(X,d)$ فضایی متریک باشد که شامل یک زیرمجموعه باز متناهی مانند $G$ است.ثابت کنید هر زیرمجموعه $G$ باز می باشد.

مرجع: کتاب فضاهای متریک یا طعم توپولوژی-دکتر میرزاوزیری-فصل یک-۲۲.۶.۱
توسط fardina (16,150 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
+2
می دانید که هر زیرمجموعه ی متناهی از یک فضای متریک بسته است؟ اگر $G$ را با مترالقایی در نظر بگیریم در اینصورت برای هر زیرمجموعه $A$ از $G$ داریم $G\setminus A$ متناهی است و لذا $G\setminus A$ در $G$ بسته است(با مترالقایی) پس متمم آن که همان $A$ باشد در $G$ باز است. از این می توانید نتیجه بگیرید که $A$ در $X$ نیز باز است؟
توسط fardina (16,150 امتیاز)
یک مجموعه می تواند هم باز باشد هم بسته!
توسط fahime (127 امتیاز)
بله درست است.
راه حل من برا حل این سوال این است که به برهان خلف فرض کنیم هر زیرمجموعه $G$ بسته است.چون $G$ متناهی است پس دارای متناهی زیر مجموعه است. از طرفی طبق قضیه ای داریم که اجتماع متناهی مجموعه بسته، مجموعه ای بسته است. این به ما میگویید که $G$ بسته است پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.
میشه لطف کنین بگین درسته یا خیر...!؟
توسط fardina (16,150 امتیاز)
فرض خلف را اشتباه نوشتید. سوال گفته "ثابت کنید هر زیر مجموعه ی $G$ باز است". پس فرض خلف می شود "فرض کنید $A\subset G$ باز نباشد." و سپس باید به یک تناقضی برسید. اینکه $G$ بسته است تناقض نیست. چون مجموعه ای می تواند هم باز هم بسته باشد. باید ثابت می کردید $G$ باز نیست که یک تناقض می شد.
توسط fahime (127 امتیاز)
بله ممنونم
توسط fahime (127 امتیاز)
اگه با متر القایی درنظر نگیریم این جواب اشتباهه؟
توسط fardina (16,150 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
+1
جوابی که من دادم ثابت کردیم هر زیرمجموعه ی $G$ مثل $A$ در $G$ باز است. از قضیه ای هم که از قبل خواندید باید بدانید زیرمجموعه باز $U$ در $X$ وجود دارد که $A=G\cap U$ و چون اشتراک متناهی مجموعه باز ، باز است پس $A$ در $X$ باز است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (16,150 امتیاز)
انتخاب شده توسط fahime
 
بهترین پاسخ

یک راه حل دیگر با استفاده از تعریف مستقیم مجموعه باز:

فرض کنید $A\subset G$ ونشان می دهیم $A$ باز است.(پس باید نشان دهیم برای هر $x\in A$ یک $r>0$ وجود دارد که $B(x,r)\subset A$)

فرض کنید $A=\{x_1,x_2,\cdots , x_m\}$ و $G=\{x_1, x_2, \cdots , x_m, x_{m+1},\cdots , x_{m+n}\}$

فرض کنید $x_i\in A$($1\leq i\leq m$) در اینصورت $x_i\in G$ و چون $G$ باز است پس $s>0$ ی هست که $B(x_i,s)\subset G$. حال $r>0$ را به صورت زیر در نظر بگیرید: $$r< \min_{j\neq i}\{d(x_i, x_j), s\} $$ در اینصورت ادعا می کنیم $B(x_i, r)\subset A$.

اولا $B(x_i, r)$ زیر مجموعه ای از $G$ است زیرا $B(x_i, r)\subset B(x_i, s)\subset G$.

دوما $B(x_i, r)=\{x_i\}$ چرا که اگر شامل نقطه ای دیگر بجز $x_i$ باشد(مثلا $x_j$) در اینصورت بنابر انتخاب $r$ داریم $$d(x_i,x_j)< r< d(x_i, x_j)$$ که تناقض است.

پس ثابت کردیم $B(x_i, r)=\{x_i\}\subset A$ لذا $A$ باز است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...