با توجه به نابرابری شمول گوی های باز را اثبات کنید

Question

اگر دو متر در فضای متریک مانند X وجود داشته باشد به طوری که متر اولی از متر دومی کوچکتر مساوی باشد آنگاه ثابت کنید گوی باز با متر دومی زیرمجموعه گوی باز با متر اولی است.یعنی ثابت شودBd2(x,r)⊆Bd1(x,r مرکز و شعاع گوی ها باهم برابر وفقط متر آن ها متفاوت است

Comments

منظورتان گوی های با مرکزها و شعاع های یکسان هست؟

---

بله شعاع و مرکز یکسان هست و فقط متر متفاوت است

---

پس سوال را ویرایش کرده و این مطلب را ذکر کنید.

Answer 1

فرض کنید $d_1\leq d_2$ در اینصورت نشان می دهیم $B_{d_2}(x,r)\subset B_{d_1}(x,r)$:

اگر $y\in B_{d_2}(x,r)$ در اینصورت: $$d_1(x,y)\leq d_2(x,y)< r$$ یعنی $y\in B_{d_1}(x,r)$.