بحث حد در کتاب درسی جدید حسابان ودیفرانسیل

Question

با سلام در بحث حد که در کتابهای جدیدا تالیف حسابان ودیفرانسیل کنونی نگاه نسبت به حد عوض شده, مدام تاکید میشود وقتی $x $را به سمت عددی میل میدیدحرکت فقط در دامنه صورت گیرد منظور از حرکت فقط در دامنه چیست لطف کنید دقیق وشفاف توضیح بفرمایید ممنون میشم.وسوال دوم اینکه اگر دامنه تابعی تکه تکه باشد مجاز به حرکت در دامنه برای حدگیری هستیم منظورم این است اگر بگویند حد تابعی را هنگامی که $x $ به سمت$ 1 $میل میکند بیابید ودامنه تابع هم بازه $[1,2) \bigcup(3,4] $منظورم این هست وقتی از سمت راست حرکت میکنیم تا$x$به $1 $میل کند آیا می توانیم از حفره $2 $تا $3$ که در دامنه نیست عبور کنیم وبگوییم چون حرکت در دامنه است فقط مشکلی نیست خلاصه منظورم اینه چگونگی عبور از حفره $2 $تا $3$ را که در دامنه نیست چگونه توجیه می کنید تا از آن عبور کنیم.

Comments

همونطور که دوستان قبلا هم تاکید کردن,لطف کنید از امکانات تایپ سایت استفاده کنید که نمایش ریاضی زیباتر باشه.ممنون

---

متاسفانه من سوالتونو متوجه نمیشم!
اگه میتونید روی ویرایش کلیک کنید و سوالتونو بهتر توضیح بدید.

Answer 1

سوال اولتون:

فرض کنید$ f(x)‎ $تابعی حقیقی و $c$ عددی حقیقی باشد. عبارت

$ \lim_{x \to c}f(x) = L $ بدین معنا است که اگر$ x$ به‌اندازهٔ کافی به $c$ نزدیک شود مقدار $f(x)$ به‌اندازهٔ دلخواه به $L$ نزدیک خواهد شد.(در این‌جا منظور از نزدیک شدن همان حرکت کردن به نقطه مورد نظر است)پس متوجه می‌شویم که لازمه این تعریف آن است که تابع $ f(x)‎ $ روی آن $ x$هایی که به $c$ نزدیک می شوند تعریف شده باشند. و به همین دلیل است که آن‌جا نوشته است باید حرکت در دامنه صورت گیرد چون مطمئنیم اگر در دامنه حرکت کنیم مقدار تابع در این حرکت تعریف شده است.

سوال دوم:

خب منظور از نزدیک شدن و حرکت کردن به سمت یک نقطه‌ای؛ بی‌نهایت نزدیک شدن به هر اندازه دلخوه است در واقع در یک همسایگی کوچک از آن ما حرکت می‌کنیم و در مثال شما هم لازم نیست حرکت از بیشتر از $2$ شروع شود و کافیست در یک $\epsilon$-همسایگی حرکت کنیم.

Answer 2

منظور از این تعریف جدید حد را با یک مثال روشن میکنیم.

قبلا میگفتند $ \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x} $ وجود ندارد.

ولی با این تعریف میشود: $ \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x}= \lim_{x \rightarrow 0^{+} } \sqrt{x}=0 $