فرض کنیم
$g:I\to \mathbb{R}$ و
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
توابعی باشند که از هر مرتبه مشتقپذیرند در این صورت
$fog:I\to \mathbb{R}$
از هر مرتبه مشتقپذیر است.
برهان: با استقرا روی مرتبه. برای مرتبه یک، طبق قضیه ترکیب توابع، درست است. حال فرض کنیم نکته فوق برای $n=k$ صحیح باشد، در اینصورت دو عبارت زیر را درنظربگیرید:
$$ (fog)^{(k+1)}\ \ \ \ and\ \ \ ((f'og)g')^{(k)} \ \ \ \ \ \ (II)$$
طبق قضیه ای اگر دو تابع $k$ بار مشتقپذیر باشند حاصل ضرب آنها نیز $k$بار مشتقپذیر است. طبق فرض استقرا
$(f'og)^{(k)}$
وجود دارد پس سمت راست $(II)$ وجود دارد و با سمت چپ برابر است.
بنابراین تابع $f$ در صورت سوال از هر مرتبه ای روی
$\mathbb{R}\backslash\lbrace 0\rbrace $
مشتقپذیر است.
