Question

چه رابطه ای بین رتبه های دو ماتریس وجود دارد؟ یعنی $r(A+B) \bigcirc r(A)+r(B)$

Comments

فرض کنید $A$ یک ماتریس با رتبه ی غیر صفر و $B=-A$ در اینصورت $B$ نیز رتبه ی مانند $A$ دارد در حالیکه $A+B=A+(-A)=0$ که دارای رتبه ی $0$ است.

Answer 1

$$rank\ (A+B) \leq rank\ A\ +\ rank\ B$$

اثبات)

ماتریس $c$ را با زیر هم قرار دادن ماتریس های $A$و $B$ می سازیم:

$$C= \begin{bmatrix}A\\B \end{bmatrix} $$

در این صورت چون رتبه برابر فضاي برداري تولید شده توسط سطرهاي یک ماتریس است، داریم:

$$rank\ C \leq \ rank\ A+rank\ B$$

اما چون سطرهای $A+B$ ترکیب خطی سطرهاي $C$ هستند,پس فضاي تولید شده توسط سطرهاي $A+B$ زیر مجموعه فضاي تولید شده توسط سطرهاي $C$ میباشد. پس:

$$rank\ (A+B) \leq \ rank\ C$$ $$ \Longrightarrow\ rank\ (A+B) \leq rank\ A\ +\ rank\ B $$