به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,178 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

کدام ماتریس ها قطری شدنی هستند آنها را نام ببرید؟ ومثالی بزنید؟

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+3 امتیاز
توسط M.B

یک روش دیگر برای تشخیص اینکه یک ماتریس قطری شدنی هست یا نه چند جمله ای مینیمال است. قضیه زیر در کتاب هافمن(ترجمه جمشید فرشیدی) صفحه 255 قضیه 6 میتواند مفید باشد.

فضای برداری با بعد متناهی $V$ بر روی هیات $F$ و عملگر خطی $T$ روی $ V $ داده شده اند. در اینصورت $T$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر چند جمله ای مینیمال $ T $ به صورت $p=(x-c_{1}). . .(x-c_{k})$ باشد که در آن $c_{1}, . . . , c_{k}$ عناصری متمایز از $F$ هستند.

به عنوان نتیجه ای از قضیه بالا می توان گفت هر ماتریس با درایه های حقیقی $ n \times n $ مثل $A$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر چند جمله ای مینیمال آن به شکل $p=(x-c_{1}). . .(x-c_{k})$ باشد که در آن $c_{1}, . . . , c_{k}$ اعداد حقیقی متمایزند.

به عنوان کاربردی از قضیه فوق می توان گفت اگر ماتریسی $ n \times n $ دارای $n$ مقدار ویژه متمایز باشد آن گاه قطری شدنی است.

+2 امتیاز
توسط wahedmohammadi

اگر $A \in F^{n \times n}$ داده شده باشد آنگاه $A$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر $r_1 +r_2 + \ldots + r_k = n$

که در آن $r_i= dim W_i$ و $w_i= { y \in F^{n \times 1 }| Ay=a_iy }$ را زیر فضای ویژه $A$ وابسته به $a_i$ گویند.

مثال

$A= \begin{bmatrix}4 & 3 \3 & -4 \end{bmatrix} $ یک ماتریس قطری شدنی است زیرا $a_1=5$ و $a_2=-5$ دو مقدار ویژه آن هستند که با تشکیل زیر فضاهای وابسته به آن می‌توان به سادگی نشان داد که بعد هر کدامشان $1$ می باشد یعنی $r_1=1$ و $r_2=1$ می‌باشند پس چون $r_1+r_2=2=n$ طبق قضیه قبل این یعنی اینکه ماتریس قطری شدنی است و حکم ثابت است، حال در زیر ما یکی از زیر فضاها را تشکیل می‌دهیم و نشان می‌دهیم بعد آن برابر $1$ است برای آن زیر فضای دیگر می‌شود به همین شکل عمل کرد.

$w_{-5}= { y \in F^{n \times 1 }| Ay=-5y } \Rightarrow \begin{cases}4y_1+3y_2=-5y_1\ 3y_1-4y_2= -5y_2 \end{cases}$

با حل معادله بالا متوجه می‌شویم که جواب معادله به صورت $y = \begin{bmatrix}-t \over 3 \t \end{bmatrix} $ می باشد و این یعنی این‌که کل فضا توسط بردار $ \begin{bmatrix}-1 \over 3 \1 \end{bmatrix} $ تولید می‌شود پس بعد آن برابر $1$ می‌باشد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...