Question

کدام ماتریس ها قطری شدنی هستند آنها را نام ببرید؟ ومثالی بزنید؟

Answer 1

یک روش دیگر برای تشخیص اینکه یک ماتریس قطری شدنی هست یا نه چند جمله ای مینیمال است. قضیه زیر در کتاب هافمن(ترجمه جمشید فرشیدی) صفحه 255 قضیه 6 میتواند مفید باشد.

فضای برداری با بعد متناهی $V$ بر روی هیات $F$ و عملگر خطی $T$ روی $ V $ داده شده اند. در اینصورت $T$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر چند جمله ای مینیمال $ T $ به صورت $p=(x-c_{1}). . .(x-c_{k})$ باشد که در آن $c_{1}, . . . , c_{k}$ عناصری متمایز از $F$ هستند.

به عنوان نتیجه ای از قضیه بالا می توان گفت هر ماتریس با درایه های حقیقی $ n \times n $ مثل $A$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر چند جمله ای مینیمال آن به شکل $p=(x-c_{1}). . .(x-c_{k})$ باشد که در آن $c_{1}, . . . , c_{k}$ اعداد حقیقی متمایزند.

به عنوان کاربردی از قضیه فوق می توان گفت اگر ماتریسی $ n \times n $ دارای $n$ مقدار ویژه متمایز باشد آن گاه قطری شدنی است.

Answer 2

اگر $A \in F^{n \times n}$ داده شده باشد آنگاه $A$ قطری شدنی است اگر و تنها اگر $r_1 +r_2 + \ldots + r_k = n$

که در آن $r_i= dim W_i$ و $w_i= \{ y \in F^{n \times 1 }| Ay=a_iy \}$ را زیر فضای ویژه $A$ وابسته به $a_i$ گویند.

مثال

$A= \begin{bmatrix}4 & 3 \\3 & -4 \end{bmatrix} $ یک ماتریس قطری شدنی است زیرا $a_1=5$ و $a_2=-5$ دو مقدار ویژه آن هستند که با تشکیل زیر فضاهای وابسته به آن می‌توان به سادگی نشان داد که بعد هر کدامشان $1$ می باشد یعنی $r_1=1$ و $r_2=1$ می‌باشند پس چون $r_1+r_2=2=n$ طبق قضیه قبل این یعنی اینکه ماتریس قطری شدنی است و حکم ثابت است، حال در زیر ما یکی از زیر فضاها را تشکیل می‌دهیم و نشان می‌دهیم بعد آن برابر $1$ است برای آن زیر فضای دیگر می‌شود به همین شکل عمل کرد.

$w_{-5}= \{ y \in F^{n \times 1 }| Ay=-5y \} \Rightarrow \begin{cases}4y_1+3y_2=-5y_1\\ 3y_1-4y_2= -5y_2 \end{cases}$

با حل معادله بالا متوجه می‌شویم که جواب معادله به صورت $y = \begin{bmatrix}-t \over 3 \\t \end{bmatrix} $ می باشد و این یعنی این‌که کل فضا توسط بردار $ \begin{bmatrix}-1 \over 3 \\1 \end{bmatrix} $ تولید می‌شود پس بعد آن برابر $1$ می‌باشد.