اثبات نامساوی مثلثی در مورد نرم-2 و نرم-P

Question

با توجه به تعریف نرم-2 و نرم-P که بصورت زیر است:

$ \| x \| _2= \sqrt[]{ (x,x)} $ $ \| x \|_p= \big( \sum_1^n | x_i |^ {P} \big)^{(1/p) } $

چگونه میتوان نامساوی مثلث $ \| x+y \| \leq \| x \|+ \| y \| $را در مورد این دو نرم ثابت کرد.

Answer 1

برای قسمت اول داریم: با استفاده از $(x,y)\leq \|x\|_2\|y\|_2$ ( که اثبات آن را در اینجا می توانید بیابید)داریم :

$$\begin{align}\|x+y\|_2^2=(x+y,x+y)&=\|x\|_2^2+(x,y)+(y,x)+\|y\|_2^2\\ &\leq \|x\|_2^2+2\|x\|_2\|y\|_2+\|y\|_2^2\end{align}$$

و برای دومی از نامساوی مینکوفسکی استفاده می شود:

نامساوی مینکوفسکی: اگر $ (x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n)\in\mathbb R^n $ و $1\leq p\in\mathbb R$ آنگاه: $$\big(\sum_1^n|x_i+y_i|^p\big)^{\frac 1p}\leq \big(\sum_1^n|x_i|^p\big)^{\frac 1p}+\big(\sum_1^n|y_i|^p\big)^{\frac 1p} $$