آنالیز ریاضی،همبندی یا ناهمبندی مجموعه های تک عضوی

Question

ایا مجموعه های تک عضوی در هر فضای متری ناهمبند اند ؟؟؟اگر هستند اثبات کنید اگر نیستند هم اثبات کنید .متشکرم

Comments

بله همبند است چون یک عضو به دو عضو غیر قابل تقسیم است و به اصطلاح افرازی متفاوت از خودش ندارد چون اگر دو فضای متری داشته باشیم که بخشی از مجموعمان در یکی و بخش دیگر در دومی باشد آن دو مجموعه نمیتوانند اشتراکشان تهی باشد پس یعنی ممکن نیست همان طور که عدد یک تنها بر خودش بخش پذیر است.

---

@آزادazad چون متن‌تان خیلی را نظروار نوشته‌اید و بعضی جمله‌ها مشکل دارند، پست‌تان از پاسخ به دیدگاه تبدیل شد.

Answer 1

اگر $T$ همبند باشد باید مجموعه های بسته و غیر تهی و مجزای $A$ و $B$ موجود باشند که:

$T=A \cup B$

اما برای $T= { {a} } $ چنین مجموعه هایی وجود ندارند زیرا اگر چنین مجموعه هایی موجود باشند:

$ {a} =A \cup B \Rightarrow A,B \subseteq A \cup B= {a} \Rightarrow (A= \emptyset \vee A= {a}) \wedge (B= \emptyset \vee B= {a} ) $

که در هر حال تناقض است.پس گزاره به انتفای مقدم درست است.یعنی $T= {a} $ همبند است.

$ \Box $