روش نوشتن جملهٔ عمومی برای دنبالهٔ $5,13,35,97,275,793,2315,...$

Question

با سلام و عرض ادب خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید:

$5,13,35,97,275,793,2315,...$

جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:

$$2^n+3^n$$

که $n$ شمارهٔ جمله است.

اکنون پرسش اصلی من این است که اگر جملهٔ عمومی این دنباله را نداشته‌باشیم چگونه می‌توانیم آن را به‌دست آوریم؟ آیا روش خاصی دارد؟

تلاش انجام‌شده: سعی کردم دنباله را به چند بخش تقسیم کنم همچنین از پاسخ آقای دکتر AmirHosein که به پرسش قبلی من داده بود (https://math.irancircle.com/20889/%D8%B1%D9%88%D8%B4-%D9%86%D9%88%D8%B4%D8%AA%D9%86-%D8%AC%D9%85%D9%84%DB%80-%D8%B9%D9%85%D9%88%D9%85%DB%8C-%D8%A8%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%D8%AF%D9%86%D8%A8%D8%A7%D9%84%DB%80-%241-%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%AF%D9%87-%D8%A7%D8%B2-%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9-%D8%AC%D8%B2%D8%A1%D8%B5%D8%AD%DB%8C%D8%AD?show=20911#a20911) هم استفاده کردم ولی به نتیجه‌ای نرسیدم.

Answer 1

به نظرم به اطلاعات بیشتر و قدرت استفاده از آنها و تجربه بستگی دارد. از دنباله فوق به صورت بازگشتی به نتیجه زیر رسیدم

$ \begin{cases} a_{1}=5 & n = 1\\ a_{n}=3a_{n-1}- 2^{n-1} & n \geq 2\end{cases} $

Comments

عالی،اثبات منحصربفرد نبودن رابطه دنباله را اثبات کردید

Answer 2

جمله عمومی یک دنباله لزوما منحصر بفرد نیست . هرشخصی ممکن است رابطه مجزایی بنویسد. نوشتن نوع رابطه یا روش آن زمانی ممکن است که از قبل نوع رابطه مشخص باشد یا شخص نوع رابطه را حدس بزند.وگرنه صرف داشتن چند عدد نمی توان روشی برای حل چنین مسائلی رائه داد.