ثابت کنید اگر یک مجموعه B به قسمی باشد که هر زیرمجموعه سره B متناهی باشد، آنگاه b متناهی است

Question

هر راهی برای اثبات این وجود دارد بیان کنید ثابت کنید اگر یک مجموعه B به قسمی باشد که هر زیرمجموعه سره B متناهی باشد، آنگاه b متناهی است

Comments

@rzhamane هیچ یک از سه برچسب جبرخطی، نظریهٔ اعداد و انتگرال نامتناهی ربطی به پرسش شما ندارند! بعلاوه تلاش خودتان را اشاره نکردید.

Answer 1

این مسئله را میتوان بصورت عکس بیان کرد که هم ارز با گزاره ای است که شما می فرمایید.گزاره ی :مجموعه ی نامتناهی ای وجود ندارد که همه زیر مجموعه های سره ی آن متناهی باشند. میدانیم چون این مجموعه نامتناهی است. طبق قضیه ی خوشترتیبی تابعی وجود دارد که ایکس را به عضوی از آن مربوط کند. ما این تابع را برای خود مجموعه مان در نظر میگیریم و در جواب تابع یکی از اعضای آن را دریافت می‌نماییم این عضو را ایکس بنامید. ما همه ی زیر مجموعه های یک عضوی آن را که شامل ایکس نباشند را در یک مجموعه ی دیگر قرار میدهیم که زیر مجموعه ی مجموعه ی توانی مجموعه ی ماست. طبق اصل انتخاب ما مجموعه ای خواهیم داشت که شامل همه ی اعضای مجموعه ی ما به جز ایکس است.پس این مجموعه یک زیر مجموعه ی سره از مجموعه ی ماست. که باز هم نامتناهی عضو دارد (چون بینهلیت منهای یک همان بینهایت است)پس گزاره یی که تعریف کردم صادق است و در نتیجه گزاره ی شماا. هم صادق است.

Answer 2

• برهان خلف فرض می کنیم این مجموعه نامتناهی باشد در این صورت باید شامل زیر مجموعه نامتناهی باشد این با فرض مسئله در تناقض است.