حلقهٔ شرکت ناپذیر چیست؟

Question

طبق تعریف حلقه‌ها، حلقه‌ها نسبت به عمل ضرب و جمع شرکت پذیرند. حالا می‌خواستم بدانم طبق تعریف، حلقهٔ شرکت ناپذیر چیست؟

Answer 1

یک حلقهٔ شرکت‌ناپذیر یک مجموعه به همراه دو عمل جمع و ضرب است که در همهٔ ویژگی‌های حلقه صدق می‌کند به غیر از شرکت‌پذیری نسبت به عمل ضرب. می‌توانید به دانش‌نامهٔ ریاضی انتشارات اشپرینگر نیز مراجعه کنید که در همان خط‌های نخست چند مثال نیز زده‌است. برای نمونه مجموعهٔ عددهای حقیقی را به همراه عمل جمع معمولی ولی با عمل زیر به جای عمل ضرب در نظر بگیرید، آنگاه پخش‌پذیری ضرب به جمع برقرار است ولی شرکت‌پذیری ضرب برقرار نیست.

$$\begin{cases} \star\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\\ (a,b)\longmapsto ab-ba \end{cases}$$

پیوند به صفحهٔ حلقه‌های شرکت‌ناپذیر در دانش‌نامهٔ اشپرینگر:

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Non-associative_rings_and_algebras