در حل یک معادله درجه 2 هنگامی که به ریشه مضاعف می رسیم، باید بگوییم که دو جواب یکسان دارد یا فقط 1 جواب دارد؟

Question

در حل یک معادله درجه 2 هنگامی که برای ایکس به ریشه مضاعف میرسیم ، باید بگوییم که ایکس دو جواب یکسان دارد یا ایکس فقط 1 جواب دارد.طبق قضیه اساسی جبر گاوس ایا نباید الزاما حالت اول را بگیم؟

$(x-1)^2=0 \Rightarrow x=1 $

که مثلا در اینجا میتوان گفت ایکس یک جواب دارد یا 2 جواب مثل هم

و البته تعمیم این قضیه برای درجه های بالاتر هم همینطور است؟

Answer 1

هیچ بایدی نیست.

فرض کنید $f=x^2+2x+1$ باشد. هر دو جملهٔ

1. $f$ یک ریشه دارد.
2. $f$ یک ریشهٔ باچندگانگی دارد.

درست هستند. ولی گفتن جملهٔ

3. $f$ دو ریشه دارد.

نادرست است.

چندجمله‌ایِ ثابتِ صفر را کنار بگذاریم. «یک چندجمله‌ای تک‌متغیره از درجهٔ $d$ حداکثر $d$ ریشه دارد.». توجه کنید که می‌گوید «حداکثر»، نمی‌گوید دقیقا.

گزارهٔ دیگری که در ارتباط است این است «یک چندجمله‌ای تک‌متغیره از درجهٔ $d$ با شمارش چندگانگیِ ریشه‌ها دقیقا دارای $d$ ریشه است». این جمله یعنی ریشه‌ها را به تعداد چندگانگی‌شان بشماریم که حاصل با خود تعداد ریشه‌ها الزاما برابر نخواهد بود.

$$\text{number of roots}=\sum_{a\in\lbrace\text{roots}\rbrace}1$$

یعنی اگر به ازای هر ریشه، یک واحد بیفزائیم، آنگاه حاصلِ جمع برابر با تعداد ریشه‌ها است. اکنون یک جمع جدید تعریف می‌کنیم.

$$\sum_{a\in\lbrace roots\rbrace}(\text{multiplicity of }a)$$

یعنی به ازای هر ریشه به جای عدد ۱ یک عدد دیگر که شاید ۱ نباشد، به نام چندگانگیِ آن ریشه، را می‌افزائیم. خیلی روشن است که حاصل می‌تواند چیزی غیر از تعداد ریشه‌ها شود، نه؟ این مفهوم در محیط اطرافتان هست. یک بار فرهاد به ازای هر عضو از خانواده‌اش یک واحد می‌افزاید، حاصل می‌شود ۵. اکنون به ازای هر عضو از خانواده‌اش سن آن عضو را می‌افزاید، حاصل می‌شود ۱۰۵. آیا باید بگوید خانواده‌اش ۵ عضو دارد یا باید بگوید خانواده‌اش ۱۰۵ عضو دارد؟

اکنون برویم جملهٔ چهارمی را نگاه کنیم

4. $f$ دو ریشه دارد ولی یکسان هستند.

این جمله متداول است ولی از یک دید جذاب نیست. اگر دو ریشه دارد پس دو چیز هستند که یکسان نیستند یا حداقل در یک ویژگی متفاوت هستند و سپس گفتنِ «یکسان هستند» یعنی در یک ویژگیِ مورد توجه یکسان هستند. برای نمونه می‌گویید من دو سیب یکسان دارم. دو سیب از نظر سیب‌بودن و شاید رنگ و حتی اندازه و غیره یکسان هستند ولی یک چیز نیستند، حداقلش این هست که مختصات سه‌بعدیِ مکانِ قرارگیری‌شان یکسان نیست ^_^

یک جملهٔ دیگر، جملهٔ زیر است.

5. $f$ ریشهٔ تکراری دارد.

چرا؟ چون پیش‌تر «ریشهٔ تکراری» به عنوان یک مفهوم که تعریفش «ریشهٔ با چندگانگی بزرگتر از یک» است، تعریف شده‌است و خواننده از این جمله پی می‌برد که یک ریشه با چندگانگی وجود دارد (نه اینکه دو ریشه وجود دارد). اما در گفتار اشکال ندارد هر چه که می‌خواهید بگوئید برای کمک به متوجه شدن مخاطب. جملهٔ متداول دیگر این است که بگوئید

6. $x=1$ دو بار ریشهٔ $f$ شده‌است.

با فرض اینکه معنای چند بار ریشه شدن را پیش‌تر اشاره کرده‌باشید.

Comments

درود
در ابتدا که تا آنجا که می‌دانم تعریف تان در از قضیه بنیادی جبر یک ایراد ریز داشت و  بنده قضیه را به دو صورت زیر در کنار هم این‌گونه دیده ام:
1)هر چند جمله ناصفر از درجه n دقیقا n ریشه دارد
2)هر چند جمله ای ناصفر از درجه n حداکثر n ریشه حقیقی دارد
The theorem is also stated as follows: every non-zero, single-variable, degree n polynomial with complex coefficients has, counted with multiplicity, exactly n complex roots.
این تعریفی است که در ویکی پدیا نوشته شده بود
در اشکالی که از مورد 4 گرفتید قانع نشدم، در همان معادله ای که مثال زده اید اگر برابر صفر قرار گیرد آنگاه x=-1  و البته که جمع ریشه ها از طریق b/a=-2- میشود.
شما در هر صورت خط y=k رسم کنید، جمع طول 2 نقطه تقاطع این خط و سهمی همواره مقدار ثابت و همان قرینه b به روی a است، وقتی که مدام این خط را به راس سهمی نزدیک کنیم 2 نقطه تقاطع به هم نیز نزدیک تر میشوند تا جایی که روی هم مماس شوند، اما باز هم 2 نقطه اند!
وگرنه اگر میخواستیم استثنا برای 2 نقطه قائل شویم چرا در رابطه قرینه b به روی a این استثنا را بیان نمی‌کنیم که دلتا 0 نباشد؟؟
در خصوص مثال سیب هم احساس میکنم مغالطه ای رخ داده، چون که نمیشه نقطه را دقیقا برابر سيب در نظر گرفت که آن را در مختصات 3 بعدی بررسی کنیم و چه بسا فرق دارد این 2 موضوع در محیط 2 بعدی

---

@Ratmin
- صورت شمارهٔ (۱) در دیدگاه‌تان اشتباه است. مرجعی که این قضیه را به این شکل و بدون «با احتساب چندگانگیِ ریشه‌ها» آورده‌است را اشاره کنید تا چک شود.
- در مورد فرمولِ $\frac{-b}{a}$، این فرمول حاصل‌جمع ریشه‌ها با احتساب چندگانگی‌شان و همین‌طور با احتساب ریشه‌های ناحقیقی است. چندجمله‌ایِ $x^2+x+1$ هیچ ریشهٔ حقیقی‌ای ندارد. آیا گفتنِ $f$ هیچ ریشه دارد در اینجا نادرست است؟ خیر. حالا $\frac{-b}{a}$ برابر با $-1$ شود، تناقضی ایجاد شد؟ خیر، برای فردی که به ریشه‌های حقیقی نگاه می‌کند، صورت گزاره این می‌شود که «اگر $f$ دو ریشه داشته باشد، آنگاه این فرمول جمع ریشه‌ها را می‌دهد.». خیلی ابهام‌ها از درست بیان نکردن ایجاد می‌شوند.
- نه باز هم دو نقطه نیستند! اولا که در مثال هندسیِ شما، مدلِ درست، یک مدلِ پارامتری است! یعنی شما با دستگاهِ $x^2+2x+1=k$ که $k$ یک پارامتر است نه فقط عددِ ثابتِ صفر در حال کار هستید که $k$ را می‌توانید تغییر بدهید و به صفر میل بدهید. که حاصل آن هم برخورد دو نقطه و یکی شدنشان است.
- ببینید، شما احتمالا فرمول $\frac{-b}{a}$ را در نکات تستی یا جایی این چنینی دیده‌اید. در این جاها چیزی دقیق گفته نمی‌شود و هر جایی نسبت به نیاز آنجا یک چیزی بیان می‌شود. اگر مرجع خاصی دارید اشاره کنید تا چک شود.
- متوجه بحث مربوط به سیب‌تان هم نمی‌شوم.

---

کلمه چندگانگی ریشه ها را بطور دقیق متوجه نمیشوم، لطفا اگر تعریف دقیقی ازین در مرجعی دارید ارایه دهید در غیر اینصورت لطفا خودتان یک تعریف دقیق ازین کلمه چندگانگی ریشه ها ارایه دهید.
در خصوص تعریف اول بنده انچه از مرحع خوانده ام نوشتم . چند نمونه مرجع :
1)https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
2)https://brilliant.org/wiki/fundamental-theorem-of-algebra/
3)http://math.uchicago.edu/~may/REU2014/REUPapers/Steed.pdf
4)https://blog.faradars.org/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87-%D8%A7%D8%B3%D8%A7%D8%B3%DB%8C-%D8%AC%D8%A8%D8%B1/
البته اینها فقط چند منبع سر دستی و سریع هستند و در کتب هم این قضیه را با همین شکل و ذکر کلمه exactly دیده ام
- لطفا فعلا معادلاتی که ریشه حقیقی ندارند وارد نکنید چون در ریشه های ان ها اختلافی نیست.در اینجا فقط عبارات درجه 2 ای که حاصل مربع رساندن عبارت درجه 1 است مد نظر است.
-فرمول $-b/a$ نه تنها یک نکته تستی نیست که مجموعه قوانینیست که تحت عنوان Vieta's formulas شناخته میشود که میتوانید مجموعه قوانین را در لینک زیر مشاهده بفرمایید
https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
بعلاوه یک قضیه اثبات شده چه فرقی دارد که نکته تستی است یا خیر .منطقی و اثبات شده است پس درست است!
-در مورد دستگاه پارامتری متاسفانه متوجه منظور نشدم ، اما بطور خیلی واضح میتوان دانست که ان دو نقطه متمایز قدیمی در نقطه مماس در راس بر هم منطبق شده اند

---

@Ramtin «مضاعف» عربی است، فارسیِ «ریشهٔ مضاعف» می‌شود: «ریشهٔ چندگانه» یا بهتر «ریشهٔ دارای چندگانگی». واژه‌های ریشهٔ تکراری و ریشهٔ با مرتبهٔ بزگتر از یک نیز به کار می‌روند. چندگانگیِ یک ریشه برای یک چندجمله‌ایِ درجهٔ یک را «مرتبهٔ ریشه» هم می‌گویند که آقای @fardina در همین سایت در پاسخ پرسش دیگری آن را تعریف کرده‌اند. به پیوند زیر نگاه کنید.
https://math.irancircle.com/4766/#a4767
چندگانگی برای پاسخ‌های یک دستگاه چندمتغیره با بیش از یک برابری نیز تعریف می‌شود که می‌توانید به کتاب‌های هندسهٔ جبری نگاه بیندازید که مورد نیاز این پرسش نیستند. در صورت علاقه پرسش جدیدی با برچسب «درخواست-مرجع» ایجاد کنید تا برایتان چند مرجع فهرست کنم.
در مورد مرجع نخست برای صورت ۱ اشتباهی که نوشته بودید، یعنی ویکی‌پدیای انگلیسی را نگاه کنیم. نوشته‌است:
«The theorem is also stated as follows: every non-zero, single-variable, degree n polynomial with complex coefficients has, counted with multiplicity, exactly n complex roots.» که ترجمه‌اش این است: «این قضیه به شکل زیر نیز بیان می‌شود: هر چندجمله‌ایِ ناصفرِ تک‌متغیرهٔ درجهٔ $n$ با ضریب‌های مختلط، با شمردنِ چندگانگی، دقیقا $n$ ریشهٔ مختلط دارد.»
و می‌بینید که از واژهٔ multiplicity که انگلیسیِ «چندگانگی» است نیز استفاده کرده‌است (انگلیسیِ واژهٔ مرتبه می‌شود order). و دقیقا آمده‌است که «با شمردن (احتساب) چندگانگی». پس قضیه به شکلی که گفته‌بودید، بدونِ « با احتساب چندگانگی» بیان نشده‌است. سایر منبع‌هایتان را نگاه نکردم و نیازی هم نیست. اگر فقط خود ریشه‌ها بدون چندگانگی مورد بحث باشد، «دقیقا» الزاما رخ نمی‌دهد و جمله نادرست است. «تعداد ریشه‌ها» با «تعداد ریشه‌ها با احتساب چندگانگی‌شان» یکسان نیست!
در صفحهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی برای فرمول‌های وی‌ته‌آ نیز متن را دقیق بخوانید نوشته‌است: «n (not necessarily distinct) complex roots» یعنی «$n$ ریشهٔ مختلطِ (نا الزاما غیرتکراری)» که منظور با احتساب چندگانگی است.
اگر پرسش حدیدی داشتید تحت پست جدید قرار دهید تا پرسش و پاسخ برای افراد دیگر قابل جستجو باشند.
جملات من را هم با دقت بخوانید، گفته‌ام در جاهایی مثل فرمول تستی و غیره می‌بینید که توضیح صرفا کافی برای محیط مورد نیاز داده می‌شود نه تمام جزئیات!

---

تشکر از اصلاح ترجمه و ارائه ترجمه درست
با تفهیم واژه ی چندگانگی فکر نمیکنم اختلافی دیگر داشته باشیم.
در واقع هر دو موافقیم که معادله $x^2-2x+1$ دارای 2 ریشه با احتساب مضاعف و دارای 1 جواب بدون احتساب مضاعف است.
و البته وقتی می‌گوییم 2 ریشه بطور دیفالت 2 ریشه متفاوت منظورمان است و اگر ریشه تکراری داشتیم به آن ریشه ریشه مضاعف(با چندگانگی، تکراری...) می‌گوییم

---

@Ratmin مضاعف اسم مفعول از ریشهٔ ضعّف به معنای دوتا کردن است که مضاعف یعنی دوتاشده (تکرارشده). مضاعف در «ریشهٔ مضاعف» به فارسی وارد شده است هر چند ریشهٔ تکراری درست‌تر و فارسی‌تر است. اما گفتنِ «با احتسابِ مضاعف» در فارسی رایج نیست. از نظر دستور زبانی نیز باید شکل دیگری از ضعّف در «با احتسابِ ...» آورده شود. پس بهتر است «با احتساب تکرار» یا «با احتساب چندگانگی» آورده‌شود. تکرار نیز ار عربی واردشده‌است ولی بهتر از مضاعف و جاافتاده‌تر است و تکرار، تکراری، تکرارشده، باتکرار و ... داریم. ولی مضاعف فقط مضاعف وارد شده و مضاعفی و مضاعف‌شده و ... خیلی جالب نیستند، بیش‌ازحد ساختگی می‌شود.

---

@Amir Hosein ممنونم از پاسخ جامع تان