سلام.
من فکر میکنم مخرج کسر صورت یک را ندارد.با این فرض من مساله را حل کردم.
قبل از هر چیز میدانیم که اگر تابعی در بازه $[a.b]$ انگرال پذیر ریمن باشد "نگاه:
$ \int f(x)dx= \sum f(a+ \frac{(b-a)k}{n}). \frac{1}{n}$
که در آن سیگما از $0$ تا $n$ است و انتگرال از $a$ تا $b$.بنابر این:
$ \lim_{n \to \infty } \frac{1+ \frac{1}{ \sqrt[3]{2} } + \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } +...+ \frac{1}{ \sqrt[3]{n} } }{ \sqrt[3]{n^2} }= \lim_{n\to \infty } \sum \frac{ \frac{1}{ \sqrt[3]{k} } }{ \sqrt[3]{n^2} }= \lim_{n\to \infty } \sum \frac{}{ \sqrt[3]{ \frac{k}{n} } } \frac{1}{n}= \int \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }dx= \frac{1}{3} $
که انتگرال از $0$ تا $1$ است و سیگما از $0$ تا $n$.
$ \Box $
