به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
77 بازدید
در دانشگاه توسط Az88 (16 امتیاز)
$\sum_{m,n}^{\infty}\frac{1}{m^2+n^2}$

آیا این سری همگراست یا واگرا اگر واگراست، ثابت کنید و چنانچه همگراست، مقدار حدی سری را به دست آورید.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (290 امتیاز)

سوال را در حالت کلی بررسی می کنیم:

$ \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{m^p+n^k}= \sum_{m=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]} \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{m^p+n^k}+\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]} \frac{1}{m^p+n^k}$

(توجه شود که $[]$ تا پایان اثبات در مکانهای مربوط به سیگمای سمت چپ تابع کف است و در مکانهای مربوط به سیگمایسمت راست تابع سقف).

حالا برای اندیسهای سیگمای سمت چپ با توجه به اینکه $m^p \geq n^k$ و در سیگمای سمت راست با توجه به اینکه $n^k \geq m^p$ پس:

$ \frac{1}{2} \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]} \frac{1}{m^p} \leq \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]}\frac{1}{m^p+n^k} \leq \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]}\frac{1}{m^p}$

$ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]}\frac{1}{n^k} \leq \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]}\frac{1}{m^p+n^k} \leq \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]}\frac{1}{n^k}$

از طرفی دیگر:

$\sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]} \frac{1}{m^p}= \sum_{m=1}^ \infty \frac{[m^ \frac{p}{k} ]}{m^ \frac{p}{k} } \wedge \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p}-1 ]} \frac{1}{n^k}= \sum _{n=1}^ \infty \frac{[n^ \frac{p}{k}-1 ]}{n^ \frac{p}{k} } $

پس چون $ 0< a_{m,n}= \frac{1}{m^p+n^k} $ در تساوی اول اثبات سمت چپ تساوی همگراست اگر و تنها اگر دوسری سمت راست همگرا باشند و تساویهای بعدی و آزمون مقایسه وخواص سری $ \sum \frac{1}{n^s} $ نشان میدهد سری همگراست اگر و تنها اگر:

$p- \frac{p}{k}=p(1- \frac{1}{k} )>0 \wedge k- \frac{k}{p}=k(1- \frac{1}{p} )>1 \Leftrightarrow \frac{1}{p} + \frac{1}{k} < 1$

حالا در این مثال سری همگرا نیست زیرا:

$ \frac{1}{p}+ \frac{1}{k}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} =1 $

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...