سوال را در حالت کلی بررسی می کنیم:
$ \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{m^p+n^k}= \sum_{m=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]} \sum_{n=1}^ \infty \frac{1}{m^p+n^k}+\sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]} \frac{1}{m^p+n^k}$
(توجه شود که $[]$ تا پایان اثبات در مکانهای مربوط به سیگمای سمت چپ تابع کف است و در مکانهای مربوط به سیگمایسمت راست تابع سقف).
حالا برای اندیسهای سیگمای سمت چپ با توجه به اینکه $m^p \geq n^k$ و در سیگمای سمت راست با توجه به اینکه $n^k \geq m^p$ پس:
$ \frac{1}{2} \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]} \frac{1}{m^p} \leq \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]}\frac{1}{m^p+n^k} \leq \sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]}\frac{1}{m^p}$
$ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]}\frac{1}{n^k} \leq \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]}\frac{1}{m^p+n^k} \leq \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p} -1]}\frac{1}{n^k}$
از طرفی دیگر:
$\sum_{m=1}^ \infty \sum_{n=1}^{[m^ \frac{p}{k} ]} \frac{1}{m^p}= \sum_{m=1}^ \infty \frac{[m^ \frac{p}{k} ]}{m^ \frac{p}{k} } \wedge \sum_{n=1}^ \infty \sum_{m=1}^{[n^ \frac{k}{p}-1 ]} \frac{1}{n^k}= \sum _{n=1}^ \infty \frac{[n^ \frac{p}{k}-1 ]}{n^ \frac{p}{k} } $
پس چون $ 0< a_{m,n}= \frac{1}{m^p+n^k} $ در تساوی اول اثبات سمت چپ تساوی همگراست اگر و تنها اگر دوسری سمت راست همگرا باشند و تساویهای بعدی و آزمون مقایسه وخواص سری $ \sum \frac{1}{n^s} $ نشان میدهد سری همگراست اگر و تنها اگر:
$p- \frac{p}{k}=p(1- \frac{1}{k} )>0 \wedge k- \frac{k}{p}=k(1- \frac{1}{p} )>1 \Leftrightarrow \frac{1}{p} + \frac{1}{k} < 1$
حالا در این مثال سری همگرا نیست زیرا:
$ \frac{1}{p}+ \frac{1}{k}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} =1 $
$ \Box $
