بررسی کنید که مجموعهٔ عددهای طبیعی به همراه عمل های ب.م.م.گیری و ک.م.م.گیری دارای عضو همانی است یا خیر.

Question

وجود عنصر همانی را بررسی کنید.

مجموعه اعداد طبیعی $N$ را به همراه عمل $ \star $ که به دو صورت زیر تعریف شده در نظر بگیرید.

1) $ \forall x,y \in N : x \star y = gcd (x,y) $

2) $ \forall x,y \in N : x \star y = Lcm (x,y) $

باسلام. من به این صورت نوشتم که:

برای $gcd$ برای اینکه همانی از راست داشته باشد، باید، $x \star e=x$ شود. و این یعنی $gcd(x,e) =x $ بشه، که به نظرم اگر یک به جای $ e $ بگذاریم صحیح می شود. برای همانی چپ هم به همین صورت نوشتم که باز هم یک می شود و چون در $gcd $ و $Lcm$ خاصیت جابه جایی هست باز هم یک میشه. پس همانی دوطرفه داریم و برابر یک هم هست.

و برای $Lcm $نوشتم که: چون که هیچ مضرب مشترکی نداره، پس همانی هم نداره.

ممنون می شوم که راهنمایی ام کنید که آیا این ها صحیح هست یا نه.

Answer 1

چه محاسبه‌ای انجام دادید که ب.م.م-ِ یک عدد دلخواه و ۱ برابر با آن عدد می‌شود؟ برای نمونه ب.م.مِ ۲ و ۱ چه می‌شود؟ ۲ می‌شود؟ آیا در تقسیمِ عدد ۱ بر عدد ۲ باقیماندهٔ صفر شده‌است؟

هیچ وقت همینطوری یک چیزی برای پاسخ قرار ندهید، دلیل نمی‌شود که چون ۱ همانیِ عمل ضربِ معمولیِ عددها است، برای هر عمل دیگری هم بدون دلیل یک‌دفعه‌ای عضو همانی بشود!

پس در خط نخست دیدیم که حرفی که زدید نادرست است، یعنی عددِ ۱ همانیِ عملِ ب.م.م‌گیری نمی‌شود، چه از چپ چه از راست. خیلی ساده نشان می‌دهیم که عملِ ب.م.م‌گیری، بر روی مجموعهٔ عددهای طبیعی هیچ عضوِ همانی‌ای ندارد. فرض خلف کنید که چنین عددی وجود داشته‌باشد و آن را با $e$ نمایش دهید. پس به ازای هر عددِ طبیعیِ $n$ای باید داشته‌باشیم که ب.م.مِ $n$ و $e$ باید برابر با $n$ شود. توجه کنید که ب.م.م دو عدد، شمارندهٔ هر دو است پس $n$ باید $e$ را بشمارد (و گر نه اصلا مقسوم‌علیهی برای $e$ نیست چه برسد مقسوم‌علیهِ مشترک برای $e$ و چیز دیگری بشود). ولی توجه کنید که اگر عددی عدد دیگری را بشمارد، آنگاه عدد دوم بزرگتریامساویِ عددِ یکُم است. پس $e$ باید بزرگتر یا مساویِ $n$ باشد. ولی چون $n$ دلخواه است، پس ثابت کردیم که $e$ از هر عددِ طبیعی‌ای باید بزرگتر یا مساوی باشد ولی آیا عددی متناهی وجود دارد که از همهٔ عددهای طبیعی بزرگتر یا مساوی باشد؟ خیر! چون اگر این عدد را مثلا $M$ بگیرید، آنگاه عددِ $M+1$ نیز یک عدد طبیعی است ولی $M$ از آن بزرگتر یا مساوی نیست! این یعنی همچین عددی در مجموعهٔ $\mathbb{N}$ وجود ندارد (در واقع این تعریفِ حدیِ مثبت بینهایت است که عضوی از $\mathbb{N}$ نیست!) پس فرض خلف باطل و از آنجا $e$ وجود ندارد، یعنی عضوِ همانی برای عملِ ب.م.م‌گیری نداریم.

و اما ک.م.م؛ دوباره من هیچ‌گونه متوجه نمی‌شوم که چجوری این جمله‌تان را نوشتید! اصلا برای دو سه تا عدد طبیعی مانند ۲ و ۳ و ۴ امتحان کردید که عددی وجود دارد که ک.م.م‌اش با تک‌تکِ این سه عدد برابر با خودشان شود؟ به نظرتان کوچکترین مضرب‌ مشترکِ عدد ۱ و یک عدد دیگر چه می‌شود؟

بیایید یک عدد طبیعیِ دلخواه $n$ را در نظر بگیرید، مجموعهٔ مضرب‌های این عدد برابر است با

$$\lbrace n, 2n, 3n, 4n, 5n, \dots, \rbrace$$

نه؟ برای عدد ۱ این مجموعه به چه شکلی می‌شود؟

$$\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, \ldots \rbrace$$

اکنون چه عددهایی در هر دو مجموعه مشترک هستند؟ این عددها مضرب‌های مشترکِ $n$ و ۱ هستند. توجه کنید که مجموعهٔ دومی دقیقا کلِ $\mathbb{N}$ است و مجموعهٔ یکُمی زیرمجموعه‌ای از آن، پس اشتراکشان برابر با مجموعهٔ یکُم می‌شود، نه؟ اینک چه عضوی کوچکترینِ این اشتراک است؟ چیزی به جز خودِ $n$ است؟ پس ثابت کردیم که ک.م.مِ هر عددی با عدد ۱ برابر با خودش می‌شود، این تعریفِ عضوِ همانیِ عملِ ک.م.م‌گیری نیست؟