وجود عنصر همانی را بررسی کنید.
مجموعه اعداد طبیعی N را به همراه عمل \star که به دو صورت زیر تعریف شده در نظر بگیرید.
1) \forall x,y \in N : x \star y = gcd (x,y)
2) \forall x,y \in N : x \star y = Lcm (x,y)
باسلام. من به این صورت نوشتم که:
برای gcd برای اینکه همانی از راست داشته باشد، باید، x \star e=x شود. و این یعنی gcd(x,e) =x بشه، که به نظرم اگر یک به جای e بگذاریم صحیح می شود. برای همانی چپ هم به همین صورت نوشتم که باز هم یک می شود و چون در gcd و Lcm خاصیت جابه جایی هست باز هم یک میشه. پس همانی دوطرفه داریم و برابر یک هم هست.
و برای Lcm نوشتم که: چون که هیچ مضرب مشترکی نداره، پس همانی هم نداره.
ممنون می شوم که راهنمایی ام کنید که آیا این ها صحیح هست یا نه.
