Question

ثابت کنید که اگر عدد صحیحی هم مربع و هم مکعب باشد (مانند $8×8=4×4×4=64$) آنگاه عدد مزبور باید به یکی از دوصورت $7k$ یا $7k+1$ باشد.

Answer 1

به نام خدا.

فرض کنید که $n=p_1^{6 \alpha _1}p_2^{6 \alpha _2}...p_n^{6 \alpha _n}$

باشد که برای هر $1 \leq i \leq n$، $p_i$ اعداد اول و $ \alpha _i$ اعدادی طبیعی اند.

واضح است که اگر یکی از $p$ ها برابر $7$ باشد، آنگاه عدد $n$ بر $7$ بخش پذیر است.

پس فرض کنید که هیچ کدام برابر با $7$ نیست. یک عدد اول مانند $q$ را در نظر بگیرید. حالت های زیر را در نظر می گیریم:

$1 .\space q \equiv 1 \space mod7 \Longrightarrow \bbox[yellow]{ q^{6k} \equiv 1 mod7}$

$2. \space q \equiv 2 \space mod7 \Longrightarrow q^6 \equiv 1 \space mod(7) \Longrightarrow \bbox[yellow]{ q^{6k} \equiv 1 mod7} $

$3. \space q \equiv 3 \space mod 7 \Longrightarrow q^6 \equiv 1 \space mod(7) \Longrightarrow \bbox[yellow]{ q^{6k} \equiv 1 mod7}$

$4. \space q \equiv 5 \space mod(7) \Longrightarrow q^6 \equiv 1 mod(7) \Longrightarrow \bbox[yellow]{ q^{6k} \equiv 1 mod7}$

این یعنی برای هر عدد $q$ که اول است و برابر $7$ نیست، باقیمانده $q^{6k}$ بر $7$ برابر یک است!

پس:

$p_1^{6 \alpha _1} \equiv 1 \space mod(7)$

$p_2^{6 \alpha _2} \equiv 1 \space mod(7)$ .

.

.

$p_n^{6 \alpha _n} \equiv 1 \space mod(7)$

پس می توان نتیجه گرفت:

$n=p_1^{6 \alpha _1}p_2^{6 \alpha _2}...p_n^{6 \alpha _n} \equiv 1 \space mod (7)$

Answer 2

• عدد صحیح n هم مربع و هم مکعب باشد آنگاه عدد صحیح m وجود دارد بطوریکه $n=m^6 $
• اگر m مضرب 7باشد آنگاه $n=7k $
• آیتم از لیست اگر m مضرب 7نباشد آنگاه با طبق لم فرما داریم $$m^6 \equiv 1 (7) \Rightarrow n=7k+1 $$

Comments

@Amir1400 گفتن لم فرما به نظرم درست نیست. باید بگید قضیه کوچک فرما