ثابت کنید تعداد جایگشت های زوج با تعداد جایگشت های فرد بر روی یک مجموعهٔ $n$ عضوی برابر است.

Question

اگر $A_n$ و $B_n$ به ترتیب مجموعه‌های جایگشت‌های زوج و فرد بر روی یک مجموعهٔ $n$ عضوی باشند، آنگاه ثابت کنید که $|A_n|=|B_n|$ که منظور از $|.|$ تعداد اعضای مجموعه است.

سلام. می دونم که $A_n$ جایگشت های زوج هست. و $|B_n|$ جایگشت های، فرد هست اما نمی دونم چطور ثابت کنم

Answer 1

البته برای اثبات، فرض $n\geq 2$ لازم است. برای اثبات کافی است نگاشت $f:A_n \longrightarrow B_n$ را با ضابطه $f( \sigma )= \sigma .(1,2)$ در نظر بگیرید. به سادگی ثابت می شود که $f$ یک تابع یک به یک و پوشا است و در نتیجه $ | A_n | = | B_n | $