چرا انتگرال $1/z$ بر روی مسیر دایره واحد صفر نیست؟

Question

سلام میخواهیم $ \int \frac{dz}{z} $ را بر روی مسیر بسته دایره واحد حساب کنیم. داریم: $ 0 \leq t \leq 2 \pi $ $z(t) = cos(t) + jsin(t) $ پس نتیجه می شود: $dz=(-sin(t)+jcos(t))dt $ حال جایگذاری میکنیم: $ \int \frac{-sin(t)+jcos(t)}{cos(t) + jsin(t)} dt$ از 0 تا $ 2 \pi $ اگر با تغییر متغیر $ u = cos(t) + jsin(t) $ و $ du=(-sin(t)+jcos(t))dt $ و عوض کردن کران ها (0 تبدیل میشود به 1، $ 2 \pi $ هم تبدیل می شود به 1) جلو برویم، با توجه به یکی شدن کران ها، حاصل انتگرال باید صفر شود. در صورتی که حاصل این انتگرال صفر نیست. کجای راه حل اشتباه است؟

Comments

@s.j.sss احتمالا منظورتان از $j$ همان $i$ عدد موهومی است (i از واژهٔ imaginary به معنای موهومی می‌آید). اولین چیزی که من در پرسش‌تان می‌بینم این است که شما ابتدا $z$ را می‌نویسید $\cos(t)+i\sin(t)$ و سپس می‌آیید عبارت جدید را می‌نویسید $u$. پس چرا از اول $z$ را به این عبارت تبدیل کرده بودید؟ اگر قرار است این عبارت به یک متغیر تبدیل شود پس با خود $z$-ِ اولیه چه فرقی دارد؟ در اینصورت مثل لقمه دور دهان چرخاندن است. اگر قرار است با $u$ کار کنید پس همان $z$ نگه دارید و عملا از $\cos(t)+i\sin(t)$ استفاده‌ای نمی‌کنید، نه؟ البته من خود پرسش و متن را کامل نخواندم ولی این مطلب سریع به چشمم خورد که در متن‌تان یک تبدیلِ بدون استفاده دارید.