حاصل انتگرال معین روبرو را بدست آورید. $\int^{1}_{0}\ln(x)\cdot\ln(1-x)dx$

Question

حاصل انتگرال معین زیر را به‌دست آورید: $$\int^{1}_{0}\ln(x)\cdot\ln(1-x)dx$$

• راهنمایی می‌کنم که: $$ \int \sum_{n=0}^{\infty} x^n dx=\ln(1-x) $$

Comments

@Math.Al باسلام، سوالی که نوشته بودم چه ویرایشی لازم داشت که آن را ویرایش کردید؟

---

@Dana_Sotoudeh در تایپ با LaTeX (تایپ ریاضی) یک نکته‌ای که باید دقت کنید، این است که برای تایپ برخی از توابع ریاضی، مثل توبع مثلثاتی و یا مثلاً لگاریتم طبیعی، بهتر است که ابتدا یک \ تایپ کنید. با اینکار عبارت بهتر نمایش داده می‌شود. بنده نیز همین ویرایش را انجام دادم.

---

@Math.Al ممنون از راهنماییتون

---

برای سوال راهنمایی میکنم که حاصل برابر است با: $ 2-\frac{π^2}{6} $

Answer 1

سلام
با استفاده از انتگرال گیری جزء به جزء انتگرال را به صورت زیر در می آوریم:
$ \int \ln(x)\ln(1-x)dx=[(x-1)\ln(1-x)-x][\ln(x)-1]+x+ \int \frac{\ln(1-x)}{x}dx $
در بالا دو نتیجه الف و ب را خواهیم داشت:
الف) $ \lim_{x\to 0}[(x-1)\ln(1-x)-x][\ln(x)-1]+x=0 $
ب) $ \lim_{x\to 1}[(x-1)\ln(1-x)-x][\ln(x)-1]+x=2 $
پس
$ \int _{0}^{1}\ln(x)\ln(1-x)dx=2+\int _{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{x}dx$
بسط تیلور برای $\ln(1-x)$ به صورت زیر است:
$-x-x^2/2-x^3/3- \ldots $
بنابراین
$\int \frac{\ln(1-x)}{x}dx=\int \frac{ -\sum _{n \geq 1}{\frac{x^{n}}{n}}}{x}dx=-\int { \sum _{n \geq 0}{( \frac{x^{n}}{n+1})}} dx=- \sum _{n \geq 1}{ \frac{x^{n}}{n^{2}}}$
در بالا در نقطه 0، 0 خواهد بود و در نقطه 1 برابر عبارت زیر
$- \sum _{n \geq 1}{ \frac{1}{n^{2}}}= -\zeta (2)= -\frac{ \pi ^{2}}{6} $
عبارت بالا همان جواب مسئله بازل است که برای اولین بار توسط اویلر محاسبه شده است و مقدارش برابر $ \frac{ \pi ^2}{6} $- است. پس جواب نهایی $2- \frac{ \pi ^2}{6} $ است.

Comments

سلام ، درود برشما
 روشتان درسته اما ای کاش در نوشتن سری ها از سیگما استفاده می‌کردید که مطالعه روشتان بهتر می بود.

---

ممنون که ویرایش کردید. بسیار عالی است، درود برشما