حاصل عددی عبارت $\tan^2(1°)+\tan^2(3°)+\cdots+\tan^2(89°) $ را بیابید

Question

مقدار عددی عبارت زیر را بیابید. $$\tan^2(1°)+\tan^2(3°)+\cdots+\tan^2(89°) $$

این سؤال رو سعی کردم از طریق برابری تانژاتت اولین مورد و کتانژانت آخرین مورد محاسبه کنم و یا ایده‌ای به این شکل استفاده کنم (جمع اولین و آخرین مورد).

یا حداقل 2 مورد رو پیدا کنم که جمعشون عددی رند بشه. اما متأسفانه نتیجه نداد. پاسخ هم دقیقاً برابر 4005 می‌شود. ولی دلیلش رو نمی‌دونم.

Comments

medanaee@ حاصل جمع در سایتی که وارد کردم را تقریبا برابر 59934.44 میده!

---

@good4us
اگر در ولفرام آلفا تست کردید، زاویه به طور پیش فرض، رادیان در نظر گرفته میشه. اگر یک درجه کنار زاویه بگذارید، ۴۰۰۵ رو نتیجه میده.

عکس زیر رو ببینید:
https://s6.uupload.ir/files/screenshot_۲۰۲۲۰۴۲۱-۱۴۰۷۰۴_chrome_q27.jpg

---

medanaee@ به نظرم حق با شماست. متشکرم

---

https://zhidao.baidu.com/question/399596222/answer/979579983.html
منبع انگلیسی زبان نیست اما میتوانید از اکستنشن گوگل ترنسلیت استفاده کنید
به کمک روابط
tan(a)+tan(90-a)=cot(a)+cot(90-a)=2/sin(2a)
و به توان 2 رسوندن و منهای 2 کردن طرفین معادله ها میتوانید
tan²1+tan²2+...+tan²89 را به مجموع دو عبارت tan²1+tan²3+...+tan²89 و tan²2+tan²4+...+tan²88 تبدیل کنید
نوشتن راه حل اون هم به کمک mathjax زمانبره
احتمالا این کار رو در آینده انجام بدم

---

مرجعتون برای این سوال چیه ؟

---

@moh_amin این سوال رو معلممون داده حقیقتا مرجعش رو نمیدونم. در مورد لینکی که فرستادید به سختی بازش کردم ولی به صورت به هم ریخته بود و چیزی از اثبات متوجه نشدم.

با استفاده از ایده یک سوال دیگه تونستم با یک راه نسبتا پیچیده این سوال رو حل کنم و جواب رو زیر همین سوال به صورت لینک یک فایل PDF قرار دادم. اما هنوز تایید نشده. هرموقع تایید شد میتونید ببینید.

---

پاسخ کامل در فایل زیر موجود هست.

https://www.uplooder.net/files/65d00a42214ccfabf4715a046bff9546/tan.pdf.html