چگونه میتوان اثبات یا رد کرد که به ازای هیچ مقداری از $a \in N$ و $a > 1$ عبارت $2(3a^2+1)$ مکعب کامل نخواهد بود؟

Question

با درود به همه دوستان و اساتید عزیز : چگونه میتوان اثبات یا رد کرد که به ازای هیچ مقداری از $a \in N$ و $a > 1$ عبارت $2(3a^2+1)$ مکعب کامل نخواهد بود؟ طرح سؤال از جانب بنده است و نمیدانم راه حل دیگری دارد یا خیر. با سپاس از توجه همراهان گرامی.

Comments

حکم به ازای a=1 نادرست است البته مثال نقض دیگری پیدا نکردم. میتوان در مورد اثبات حکم برای a های بزرگتر از 1 سوال را مطرح کرد.

---

@moh_amin : بله حق با شماست. بنده شرط $a$ بزرگتر از $1$ را در سؤال نگنجانده بودم که آنرا اصلاح کردم. ولی برای راهنمایی عرض میکنم که عبارت مندرج در سؤال به ازای $a$ بزرگتر از $1$ هیچگاه مکعب کامل نخواهد بود. علتش هم علیرغم چالشی بودن سؤال، بسیار ساده است. درصورتیکه پاسخ متفاوتی دریافت نکردم، پاسخ خود را خواهم نوشت. ممنون از همراهی صمیمانه تان.

---

سوال شما معادل سوال زیر است:
آیا امکان دارد عبارت $ 36x^{3}-72x^{2}+48x-11 $ یک مربع کامل شود؟
یا حتی می توان مسئله به صورت یک نامساوی جبری درآورد که بنظرم حل اون راحت تره. با حل مسئله زیر نیز درواقع مسئله شما حل شده است.
ثابت کنید نامساوی $ (\lfloor  \sqrt[3]{6x^{2}}  \rfloor+1)^{3} -6x^{2} > 2 $ برقرار است اگر x>1 باشد. (x عددی طبیعی است.)

---

@mort : با درود به دوست گرامی. ممنون از همراهی خوبتون. فقط اگر ممکنه مراحل رسیدن به معادله و نامعادله مندرج در دیدگاهتان را بنویسید. ضمناً توجه داشته باشید $a>1$ شرط مسئله است و نه نتیجه مسئله. درواقع باید ثابت کنید به ازای $a$ و $b$ طبیعی بزرگتر از $1$
$2(3a^2+1) \neq b^3$
موفق و سرافراز باشید.

---

عبارتی که شما دادید:
$ 2(3a^{2}+1)=6a^{2}+2 $
عدد $ 6a^{2} $ تنها 2 واحد از $ 6a^{2}+2 $ کمتر است. همچنین می دانیم عدد $ 6a^{2} $ بین دو مکعب کاملِ $  (\lfloor \sqrt[3]{6a^{2}} \rfloor)^{3} $ و $  (\lfloor \sqrt[3]{6a^{2}} \rfloor+1)^{3} $ قرار می گیرد پس اگر عبارت $ 6a^{2} $ از $  (\lfloor \sqrt[3]{6a^{2}} \rfloor+1)^{3} $ به اندازه ی بیش از 2 واحد فاصله داشته باشد، پس $ 6a^{2}+2 $ نمی تواند مساوی با $  (\lfloor \sqrt[3]{6a^{2}} \rfloor+1)^{3} $ بشود و در نهایت هیچگاه نمی تواند مکعب کامل بشود. پس سوال شما در واقع سعی دارد نامساوی زیر را برای همه a های طبیعی بزرگتر از 1 ثابت کند:
$  (\lfloor \sqrt[3]{6a^{2}} \rfloor+1)^{3}-6a^{2}>2 $

---

@mort : با درود. بسیار عالی. درواقع شما ثابت کردید عبارت مندرج در سؤال بنده با $a$ بزرگتر از $1$ همیشه بین دو مکعب کامل متوالی قرار میگیرد و خود نمیتواند مکعب کامل باشد. دیدگاهتان با حل نامعادله را میتوانید بصورت پاسخ قرار دهید. راه حلی متفاوت ولی قابل توجه بود. ممنون از همراهی صمیمانه تان. 1+

Answer 1

با درود به همه دوستانی که در حل این سؤال بنده را همراهی کردند. در واقع حل این سؤال بسیار ساده است. زیرا تفاضل دو مکعب زیر است.

$(a+1)^3-(a-1)^3=2(3a^2+1)$

اگر سمت راست معادله فوق مکعب کامل باشد، و بطور مثال مساوی $b^3$ باشد، معنایش معادله زیر خواهد بود

$(a+1)^3=(a-1)^3+b^3$

معادله فوق بمعنای نقض حکم ثابت شده درباره قضیه آخر فرما توسط اندرو وایلز خواهد بود. بنابراین عبارت سؤال بنده به ازای $a>1$ ، مکعب کامل نمیتواند باشد. با همین روش برای توانهای بزرگتر از $3$ هم میتوان مسئله طراحی کرد. حل متفاوت این سؤال توسط کاربر گرامی @mort برایم بسیار جالب بود. تندرست و سرافراز باشید.