آیا این گزاره که برای سه عدد طبیعی داریم $a^n\mid b^n\Rightarrow a\mid b$ را می توان بدون کمک گرفتن از تجزیه به عوامل اول اثبات کرد؟

Question

فرض کنید $a$ و $b$ و $n$ سه عدد طبیعی هستند. نشان دهید که اگر $a^n\mid b^n$ آنگاه $a\mid b$. آیا این اثبات را می‌توان بدون کمک‌گرفتن از تجزیه به شمارنده‌ّای اول اثبات کرد؟

Answer 1

$ a^{n} \mid b^{n} \Rightarrow ( a^{n} , b^{n} )= a^{n} \Rightarrow(a,b)^n=a^n$

$ \Rightarrow \sqrt[n]{(a,b)^n} = \sqrt[n]{a^n} \Rightarrow (a,b)=a \Rightarrow a \mid b \Box$

Comments

@قاسمـشبرنگ توجه کنید که نباید از حکم در اثبات گام‌هایی که به کار برده‌اید استفاده‌شده‌باشد! برای نمونه جایی که جذر گرفته‌اید اثبات این گام چه چیزی نیاز دارد؟

---

من هر چه بررسی میکنم از حکم استفاده نکرده ام.
در جایی هم که از جذر استفاده شده استدلال این است که ریشه ان ام دو عد برابر هم برابر است.